Dal fattore gamma alla velocità (protone)

Testo

Dal fattore $\gamma$ alla velocità. Un protone in un acceleratore ha $\gamma=1000$. Trova la sua velocità partendo da $\beta^2 = 1 - 1/\gamma^2$. Quanti decimali separano $v$ da $c$?

Soluzione

Punto di partenza. Dalla definizione $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$ si ricava

$\beta^2 = 1 - \frac{1}{\gamma^2}.$

Sostituzione. Con $\gamma = 1000$, $\gamma^2 = 10^6$:

$\beta^2 = 1 - \frac{1}{10^6} = 1 - 10^{-6} = 0{,}999999.$

Radice. Usando lo sviluppo $\sqrt{1-x}\approx 1-\tfrac{x}{2}$ per $x = 10^{-6}$:

$\beta = \sqrt{1-10^{-6}} \approx 1 - \frac{10^{-6}}{2} = 1 - 5\cdot 10^{-7} = 0{,}9999995.$

Risultato.

$\ev{v \approx 0{,}9999995\,c}$

Quanti decimali da $c$. La differenza è

$1 - \beta \approx 5\cdot 10^{-7},$

cioè circa mezza parte su un milione: la velocità coincide con $c$ fino alla sesta–settima cifra decimale. Nemmeno con $\gamma = 1000$ il protone raggiunge $c$: gli manca sempre un pochino.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Impostazione simbolica