Dal rapporto Doppler alla velocità

Testo

Dal rapporto Doppler alla velocità. Una sorgente luminosa in allontanamento emette a $\lambda_0=500$ nm e tu ricevi $\lambda=600$ nm. Stima la velocità di allontanamento usando il Doppler longitudinale relativistico $\lambda/\lambda_0 = \sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$.

Soluzione

Rapporto delle lunghezze d’onda.

$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{600}{500} = 1{,}2.$

È un redshift: la lunghezza d’onda ricevuta è maggiore, coerente con l’allontanamento.

Elevo al quadrato la formula Doppler.

$\left(\frac{\lambda}{\lambda_0}\right)^2 = \frac{1+\beta}{1-\beta} \quad\Rightarrow\quad 1{,}44 = \frac{1+\beta}{1-\beta}.$

Isolo $\beta$.

$1{,}44\,(1-\beta) = 1+\beta \;\Rightarrow\; 1{,}44 - 1{,}44\,\beta = 1 + \beta \;\Rightarrow\; 0{,}44 = 2{,}44\,\beta,$

$\beta = \frac{0{,}44}{2{,}44} \approx 0{,}18.$

Velocità.

$v = \beta c \approx 0{,}18 \times 3\cdot 10^8 \approx 5{,}4\cdot 10^7\ \text{m/s}.$

$\ev{v \approx 0{,}18\,c \approx 5{,}4\cdot 10^7\ \text{m/s}}$

La sorgente si allontana a circa il $18\%$ della velocità della luce.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Effetto Doppler Competenze: Impostazione simbolica