Il pione in volo

Testo

Sintesi: pione in volo. Un pione carico ha vita media propria $\tau_0=26$ ns e viaggia a $v=0{,}98\,c$ nel laboratorio. Quale distanza media percorre prima di decadere? Confronta con la distanza “galileiana” $v\tau_0$ e commenta il ruolo di $\gamma$.

Soluzione

Fattore di Lorentz. Con $\beta = 0{,}98$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}98^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}9604}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}0396}} \approx 5{,}03.$

Distanza “galileiana” (senza relatività). Se il pione vivesse solo $\tau_0$ nel laboratorio:

$d_{\text{cl}} = v\,\tau_0 = (0{,}98)(3\cdot 10^8)(26\cdot 10^{-9}) \approx 7{,}6\ \text{m}.$

Distanza relativistica. Nel laboratorio la vita media appare dilatata di $\gamma$, quindi il pione percorre

$d = v\,(\gamma\tau_0) = \gamma\,d_{\text{cl}} \approx 5{,}03 \times 7{,}6\ \text{m} \approx 38{,}5\ \text{m}.$

$\ev{d \approx 38{,}5\ \text{m} \quad (\text{contro } v\tau_0 \approx 7{,}6\ \text{m})}$

Ruolo di $\gamma$. La distanza percorsa è amplificata esattamente del fattore $\gamma \approx 5$: la dilatazione dei tempi allunga di cinque volte la vita del pione nel laboratorio, permettendogli di viaggiare molto più lontano di quanto la meccanica classica prevederebbe. È lo stesso meccanismo che spiega i muoni cosmici.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Cambio di sistema di riferimento