Sfida, il paradosso dei gemelli

Testo

Sfida: paradosso dei gemelli. Anna parte verso una stella e torna. Beatrice resta a Terra. Al ritorno Anna è più giovane. Beatrice obietta che dal suo SR era Beatrice ad allontanarsi: perché il paradosso non è simmetrico? Disegna le linee di universo dei due gemelli su un diagramma $(t,s)$.

Soluzione

Il paradosso apparente. Il moto è relativo: se Anna vede Beatrice allontanarsi e poi riavvicinarsi, per simmetria ciascuna dovrebbe vedere l’orologio dell’altra rallentare. Come può allora Anna tornare davvero più giovane, senza contraddizione?

La rottura della simmetria. La situazione non è simmetrica. Beatrice resta sempre nello stesso riferimento inerziale: la sua linea di universo è una retta verticale. Anna invece, per tornare, deve invertire la marcia: rallenta, si ferma, riparte in senso opposto. In quel punto cambia riferimento inerziale (subisce un’accelerazione). La sua linea di universo è spezzata, con un vertice nel punto di inversione.

$\ev{\text{Anna cambia sistema di riferimento (accelera), Beatrice no}}$

La spiegazione geometrica. Nello spaziotempo il tempo proprio è la “lunghezza” della linea di universo, misurata con l’invariante $\Delta\tau^2 = \Delta t^2 - \Delta s^2/c^2$. A differenza della geometria euclidea, qui il cammino spezzato di Anna corrisponde a un tempo proprio minore di quello del cammino diritto di Beatrice. Anna accumula meno tempo: torna più giovane.

Perché non è simmetrico. Solo Beatrice resta inerziale per tutto il viaggio, quindi solo lei può applicare ingenuamente la dilatazione dei tempi lungo tutto il percorso. Anna, che cambia riferimento, non può: durante l’inversione la sua nozione di simultaneità “salta” in avanti, e proprio quel salto spiega perché al ricongiungimento è lei la più giovane. L’accelerazione è il marchio oggettivo che distingue i due gemelli.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski