Il viaggiatore al cinema

Testo

Un viaggiatore parte dal bar alle ore $0$ e ha la proiezione al cinema alle ore $T=20\,000$~s, in un punto distante $L=10\,000$~sl. Calcola il tempo proprio per tre scenari: (1) moto rettilineo uniforme fino al cinema, arrivando puntuale; (2) tappa a metà strada (al tabaccaio), poi prosegue arrivando comunque alle ore $T$; (3) percorre $L$ in $15\,000$~s, poi attende fermo per leggere il giornale. Quale dei tre massimizza il tempo proprio?

Soluzione

Unità naturali $c=1$. Su ogni tratto rettilineo uniforme il tempo proprio è $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$; su un tratto in cui sta fermo ($\Delta s=0$) il tempo proprio coincide con il tempo di laboratorio $\Delta\tau=\Delta t$.

(1) Moto rettilineo uniforme fino al cinema. Copre $\Delta s=L=10\,000$~sl in $\Delta t=T=20\,000$~s: $\Delta\tau_1=\sqrt{20\,000^2-10\,000^2}=\sqrt{3\cdot 10^8}=10\,000\sqrt{3}\approx 17\,320\ \text{s}$

(2) Tappa al tabaccaio (metà strada). Percorre la prima metà ($5\,000$~sl) in fretta, in $7\,000$~s, poi la seconda metà ($5\,000$~sl) più lentamente, in $13\,000$~s (arrivando comunque a $T=20\,000$~s): $\Delta\tau_2=\sqrt{7\,000^2-5\,000^2}+\sqrt{13\,000^2-5\,000^2}=\sqrt{24\cdot 10^6}+\sqrt{144\cdot 10^6}$ $\Delta\tau_2\approx 4\,899 + 12\,000 = 16\,898\ \text{s}$

(3) Corsa più attesa. Copre $L=10\,000$~sl in $15\,000$~s, poi resta fermo per i restanti $20\,000-15\,000=5\,000$~s: $\Delta\tau_3=\sqrt{15\,000^2-10\,000^2}+5\,000=\sqrt{125\cdot 10^6}+5\,000\approx 11\,180 + 5\,000 = 16\,180\ \text{s}$

Confronto e conclusione. $\ev{\Delta\tau_1\approx 17\,320\ \text{s} \;>\; \Delta\tau_2\approx 16\,898\ \text{s} \;>\; \Delta\tau_3\approx 16\,180\ \text{s}}$ Il moto rettilineo uniforme (scenario 1) massimizza il tempo proprio. Ogni cambio di regime — accelerare/rallentare a metà strada o fermarsi — riduce il tempo proprio complessivo rispetto alla retta.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Impostazione simbolica Metodi: Diagramma di Minkowski · Unità naturali