Un timer relativistico

Testo

Una bomba dotata di timer a tempo proprio viene lanciata a $v=5c/6$ contro un bersaglio distante $L=30$~sl. Il timer deve scattare esattamente quando la bomba raggiunge il bersaglio. A che valore di tempo proprio $\Delta\tau$ va impostato? Un’impostazione “galileiana” $\Delta\tau=L/v$ darebbe lo stesso risultato?

Soluzione

Unità naturali $c=1$, quindi $v=\tfrac{5}{6}$ e $L=30$~sl.

Tempo di laboratorio del viaggio. Nel SR del laboratorio (dove sono misurati $L$ e la velocità) la bomba impiega: $t=\frac{L}{v}=\frac{30}{5/6}=30\cdot\frac{6}{5}=36\ \text{s}$

Tempo proprio della bomba. Il timer scandisce il tempo proprio, legato al tempo di laboratorio dal fattore di Lorentz $\gamma$: $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{25}{36}}}=\frac{1}{\sqrt{11/36}}=\frac{6}{\sqrt{11}}\approx 1{,}809$ $\Delta\tau=\frac{t}{\gamma}=\frac{36}{1{,}809}\approx 19{,}9\ \text{s}$ Equivalentemente, con l’invariante: $\Delta\tau=\sqrt{t^2-L^2}=\sqrt{36^2-30^2}=\sqrt{1296-900}=\sqrt{396}\approx 19{,}9$~s. $\ev{\Delta\tau\approx 19{,}9\ \text{s}}$

Impostazione “galileiana”. Il valore $L/v=36$~s è il tempo di laboratorio $t$, non il tempo proprio: impostare il timer a $36$~s lo farebbe scattare troppo tardi (quando sull’orologio della bomba sono passati $36$~s, la bomba ha già superato da un pezzo il bersaglio). La dilatazione dei tempi rende il tempo proprio $\Delta\tau\approx 19{,}9$~s nettamente minore dei $36$~s galileiani. I due risultati non coincidono.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Impostazione simbolica Metodi: Unità naturali