Caterina verso Alfa Centauri

Testo

Caterina parte dalla Terra al tempo $t=0$ e viaggia verso Alfa Centauri, che dista $L=4$ anni-luce (a.l.), a velocità $v=0{,}9\,c$. Arrivata su Alfa Centauri, inverte la rotta e torna sulla Terra alla stessa velocità. Suo fratello gemello Simone la aspetta sulla Terra. Quando Caterina torna, quanti anni sono passati per lei? Quanti per Simone?

Soluzione

Lavoriamo in unità dove $c=1$ a.l./anno.

Tempo per Simone (SRT = sistema Terra). In SRT, Caterina viaggia di moto rettilineo uniforme. L’andata dura: $\Delta t_\text{andata}=\frac{L}{v}=\frac{4}{0{,}9}\approx 4{,}44\ \text{anni}$ Il ritorno dura altrettanto, quindi per Simone: $t_C^\text{Simone}=2\cdot 4{,}44\approx 8{,}88\ \text{anni}$

Tempo per Caterina (tempo proprio). Usiamo l’invariante fra l’evento “partenza” ($E_A$) e “arrivo su Alfa Centauri” ($E_B$): $(\Delta\tau_{AB})^2=(\Delta t_{AB})^2-(\Delta s_{AB})^2/c^2=4{,}44^2-4^2=19{,}71-16=3{,}71$ $\Delta\tau_\text{andata}=\sqrt{3{,}71}\approx 1{,}93\ \text{anni}$ Per simmetria il ritorno dura la stessa quantità, quindi il totale per Caterina è: $\ev{t_C^\text{Caterina}\approx 2\cdot 1{,}93 = 3{,}86\ \text{anni}}$

Conclusione. Quando Caterina torna sulla Terra, è invecchiata di circa $3{,}9$ anni, mentre Simone ne è invecchiato circa $8{,}9$: la differenza è di circa 5 anni. Se all’inizio erano gemelli identici, al ritorno Caterina è più giovane. Non è un’illusione ottica: è davvero vissuta meno tempo di Simone.

Perché non è davvero un "paradosso" non sono simmetrici. Simone resta sempre in un unico sistema inerziale; Caterina invece cambia sistema di riferimento a metà viaggio (inverte la rotta, sperimenta un'accelerazione). La formula dell'invariante $(\Delta\tau)^2=(\Delta t)^2-(\Delta s/c)^2$ si applica separatamente ad andata e ritorno, e la somma dei due tempi propri è inferiore al tempo totale di Simone. Regola d'oro: fra due eventi connessi da un moto, il tempo proprio è massimo per la traiettoria rettilinea uniforme (un solo SR) e decresce se il viaggiatore cambia riferimento — "invecchia di più chi resta fermo".

Non si può dire, simmetricamente, che sia Simone il più giovane: i due ruoli

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski · Unità naturali