Livelli energetici dell'atomo di idrogeno

Conosciuti raggio e velocità di ogni orbita, possiamo calcolare la grandezza più importante: l’energia dell’elettrone in ciascun livello. È la somma dell’energia cinetica (dovuta al moto) e dell’energia potenziale elettrica (dovuta all’attrazione col nucleo):

$E_\text{tot} = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{k e^2}{r}$

Il segno meno dell’energia potenziale ricorda che l’elettrone è legato: per staccarlo dal nucleo bisogna fornirgli energia. Sostituendo le formule quantizzate di $v_n$ e $r_n$ e semplificando, si ottiene la celebre formula dei livelli:

$\ev{E_n = -\frac{1}{2}\,\frac{k\,e^2}{r_1}\cdot\frac{1}{n^2} = -\frac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}}$

Le energie sono negative (stati legati) e discrete: solo certi valori sono permessi, uno per ogni intero $n$. Il livello più basso, $n=1$, vale $-13{,}6$ eV ed è lo stato fondamentale; salendo di livello l’energia cresce (diventa meno negativa) come $-1/n^2$, e i livelli si infittiscono avvicinandosi a $0$. Il valore $E=0$ corrisponde a $n=\infty$: l’elettrone libero, appena strappato all’atomo. Ionizzare l’idrogeno dallo stato fondamentale costa quindi esattamente $13{,}6$ eV, la sua energia di ionizzazione.

I primi livelli:

Diagramma dei livelli energetici dell’idrogeno. I livelli si addensano verso $E=0$ (ionizzazione, $n=\infty$). Una transizione verso un livello più basso (qui $n=3\to n=2$) libera un fotone la cui energia è pari alla differenza tra i due livelli.

Quando un elettrone salta da un livello a un altro, la differenza di energia viene emessa o assorbita come un singolo fotone, $E_\text{fotone} = |E_\text{fin} - E_\text{iniz}|$. Poiché i livelli sono discreti, anche le energie dei fotoni lo sono: ecco perché ogni elemento ha uno spettro “a righe” caratteristico. (Il calcolo esplicito di una di queste righe è svolto negli esercizi.)

Regola di assorbimento selettivo

Se un fotone colpisce l’elettrone di un atomo, questo può saltare di livello solo se il fotone ha energia esattamente uguale alla differenza tra livello finale e iniziale. Altrimenti il fotone non viene assorbito e prosegue indisturbato, come se l’atomo fosse trasparente alla sua luce. È il motivo per cui ogni gas assorbe ed emette solo a frequenze ben precise.

Questa è la differenza radicale con la fisica classica: nel mondo classico basterebbe che l’energia fosse “almeno sufficiente”; in quello quantistico deve essere proprio quella giusta. L’assorbimento è “tutto o niente”.

Fotone da 3 eV o 12 eV: passa o no?

Un atomo di idrogeno nello stato fondamentale ($n=1$, $E_1 = -13{,}6$ eV) viene colpito da un fotone di $3$ eV. Succede qualcosa? No: la prima transizione disponibile, $n=1 \to n=2$, richiede esattamente $\Delta E = 13{,}6 - 3{,}4 = 10{,}2$ eV. Con $3$ eV non si arriva, e il fotone passa indisturbato. E con un fotone di $12$ eV? Neanche questo viene assorbito: $12 \neq 10{,}2$ (la $n=1\to2$), $12 \neq 12{,}09$ (la $n=1\to3$), $12 \neq 12{,}75$ (la $n=1\to4$)… nessuna transizione ha esattamente $12$ eV di salto. L’atomo resta trasparente anche a un fotone più energetico del primo salto ma “fuori sintonia”.

Proprio questa peculiarità — l’atomo assorbe energia solo a “tacche” precise — è ciò che l’esperimento di Franck-Hertz riuscì a misurare direttamente, come vedremo.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Modello di Bohr · Fotone · Energia cinetica Oggetti: Atomo di idrogeno

Esercizi collegati: Livelli dell’idrogeno, Balmer e Lyman · Esercizio svolto — un fotone rosso dall’atomo di idrogeno · Vero o falso sulla fisica quantistica