Dimostra il raggio dell'orbita di Bohr

Testo

Partendo dalla regola di quantizzazione di Bohr $m v r = n\hbar$ e dall’uguaglianza tra forza di Coulomb e forza centripeta, dimostra che il raggio dell’orbita $n$-esima nell’atomo di idrogeno vale $r_n = n^2 \hbar^2/(m e^2 k)$.

Soluzione

Passo 1 — Coulomb = centripeta. L’attrazione elettrostatica fornisce la forza centripeta:

$\frac{k e^2}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \;\Rightarrow\; k e^2 = m v^2 r$

Passo 2 — Quantizzazione del momento angolare. Dalla regola di Bohr ricavo la velocità:

$m v r = n\hbar \;\Rightarrow\; v = \frac{n\hbar}{m r}$

Passo 3 — Sostituisco $v$ nella relazione dinamica.

$k e^2 = m r \left(\frac{n\hbar}{m r}\right)^2 = m r \cdot \frac{n^2\hbar^2}{m^2 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m r}$

Passo 4 — Isolo $r$.

$\ev{r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m e^2 k}}$

Per $n=1$ si ottiene il raggio di Bohr $a_0 = \hbar^2/(m e^2 k) \approx 5{,}29\cdot 10^{-11}\;\text{m}$, la scala di grandezza dell’atomo. I raggi crescono come $n^2$: le orbite eccitate sono molto più ampie.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Modello di Bohr Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Atomo di idrogeno