Legge esponenziale e vita media

Microscopicamente il singolo decadimento è un fenomeno quantistico probabilistico: non si può predire quando un dato nucleo decadrà, ma solo la sua probabilità di decadere per unità di tempo. È come lanciare, per ogni nucleo, un dado a ogni istante. Individualmente imprevedibile, il fenomeno diventa però perfettamente regolare quando si osservano tantissimi nuclei insieme: la statistica dei grandi numeri fa emergere una legge esponenziale.

Principio — Decadimento esponenziale

Se $N(t)$ è il numero di nuclei radioattivi presenti al tempo $t$, la frazione che decade per unità di tempo è costante: $\frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda\,N \qquad\Longrightarrow\qquad \ev{N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}}$ con $\lambda$ la costante di decadimento (unità $1/\text{s}$).

L’equazione $\dd N/\dd t = -\lambda N$ dice semplicemente che quanti più nuclei ci sono, tanti più ne decadono nell’unità di tempo, e la proporzionalità è ciò che genera l’andamento esponenziale: separando le variabili e integrando si ottiene la $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.

A partire da $\lambda$ si definiscono due tempi caratteristici, tra loro proporzionali:

• la vita media $\tau = 1/\lambda$: il tempo medio di sopravvivenza di un singolo nucleo;
• il tempo di dimezzamento $\tau_{1/2}$: il tempo in cui $N$ scende a $N_0/2$. Imponendo $e^{-\lambda\tau_{1/2}} = 1/2$ e passando al logaritmo si trova $\tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx 0{,}693\,\tau$

Formula chiave

$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ $\tau = \frac{1}{\lambda}, \qquad \tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ Attività: $\;\abs{\dfrac{\dd N}{\dd t}} = \lambda N$, misurata in becquerel (1 Bq = 1 decadimento/s).

L’attività $\lambda N$ è ciò che un rivelatore misura davvero — il numero di decadimenti al secondo — ed essa stessa decade esponenzialmente nel tempo, con la stessa costante $\lambda$ del numero di nuclei.

Esempio — Datazione al carbonio-14

Tutti gli organismi viventi assorbono carbonio dall’atmosfera, in cui il rapporto ${}^{14}\text{C}/{}^{12}\text{C}$ è mantenuto costante dai raggi cosmici. Alla morte l’assorbimento cessa e il ${}^{14}$C nel corpo comincia a decadere $\beta^-$ con $\tau_{1/2} = 5730$ anni. Se in un campione si trova un rapporto isotopico pari a $1/8$ di quello atmosferico: $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{8} = \left(\frac12\right)^3 \quad\Rightarrow\quad \Delta t = 3\,\tau_{1/2} \approx 17\,000\;\text{anni}$ Con questo metodo sono stati datati l’Uomo di Similaun (Ötzi, 5300 anni), le pitture di Lascaux (17,000 anni), la Sindone di Torino ($\sim 700$ anni, dato controverso).

Collegamenti

Argomenti: Fisica nucleare Concetti: Decadimento radioattivo Competenze: Uso delle scale logaritmiche Metodi: Separazione delle variabili

Esercizi collegati: Esercizio svolto — decadimento del radon in cantina · Dalla legge fenomenologica all’esponenziale · Vita media di un campione misto