Vita media di un campione misto

Testo

Un campione contiene due isotopi radioattivi. Dell’isotopo A ci sono inizialmente $N_A(0) = 10^{6}$ atomi, con tempo di dimezzamento $\tau_{1/2,A} = 1\ \text{giorno}$. Dell’isotopo B ci sono $N_B(0) = 10^{7}$ atomi, con $\tau_{1/2,B} = 100\ \text{giorni}$. Calcola l’attività totale iniziale del campione e l’attività totale dopo 50 giorni.

Soluzione

Costanti di decadimento. Ricordando $\lambda = \dfrac{\ln 2}{\tau_{1/2}}$:

$\lambda_A = \frac{\ln 2}{1} = 0{,}693\ \text{giorno}^{-1}, \qquad \lambda_B = \frac{\ln 2}{100} = 0{,}00693\ \text{giorno}^{-1}$

Attività iniziali. L’attività è $A = \lambda N$:

$A_{A}(0) = \lambda_A N_A(0) = 0{,}693 \cdot 10^{6} \approx 6{,}93 \cdot 10^{5}\ \text{giorno}^{-1}$

$A_{B}(0) = \lambda_B N_B(0) = 0{,}00693 \cdot 10^{7} \approx 6{,}93 \cdot 10^{4}\ \text{giorno}^{-1}$

Attività totale iniziale:

$A_{\text{tot}}(0) = A_A(0) + A_B(0) \approx 6{,}93 \cdot 10^{5} + 6{,}93 \cdot 10^{4} \approx 7{,}6 \cdot 10^{5}\ \text{giorno}^{-1}$

Dopo 50 giorni. Usando $N(t) = N(0)\,2^{-t/\tau_{1/2}}$:

$N_A(50) = 10^{6} \cdot 2^{-50} \approx 0 \quad\Rightarrow\quad A_A(50) \approx 0$

L’isotopo A, con dimezzamento di 1 giorno, dopo 50 dimezzamenti è di fatto scomparso. Per B:

$N_B(50) = 10^{7} \cdot 2^{-50/100} = 10^{7} \cdot 0{,}707 \approx 7{,}07 \cdot 10^{6}$

$A_B(50) = \lambda_B N_B(50) = 0{,}00693 \cdot 7{,}07 \cdot 10^{6} \approx 4{,}9 \cdot 10^{4}\ \text{giorno}^{-1}$

L’attività totale dopo 50 giorni è dominata dall’isotopo B:

$\ev{A_{\text{tot}}(0) \approx 7{,}6 \cdot 10^{5}\ \text{d}^{-1}; \quad A_{\text{tot}}(50) \approx 4{,}9 \cdot 10^{4}\ \text{d}^{-1}}$

Collegamenti

Argomenti: Fisica nucleare Concetti: Decadimento radioattivo