Fotoelettrone in campo magnetico: quantistica e magnetismo

Testo

Una superficie di sodio (lavoro di estrazione $W_0 = 2{,}3$ eV) è illuminata da luce monocromatica di lunghezza d’onda $\lambda = 300$ nm. Gli elettroni emessi entrano perpendicolarmente in un campo magnetico uniforme $B = 1{,}0$ mT. Determinare: (a) l’energia cinetica massima degli elettroni, (b) il raggio della traiettoria circolare nel campo.

Soluzione

(a) Energia cinetica massima (effetto fotoelettrico). L’equazione di Einstein per l’effetto fotoelettrico dice che l’energia del fotone si spende in parte per estrarre l’elettrone ($W_0$) e in parte diventa energia cinetica: $E_{k,\max} = hf - W_0 = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ Conviene ricordare la costante pratica $hc \approx 1240\;\text{eV}\cdot\text{nm}$: $\frac{hc}{\lambda} = \frac{1240}{300} \approx 4{,}13\;\text{eV}$ $\ev{E_{k,\max} = 4{,}13 - 2{,}3 \approx 1{,}83\;\text{eV}}$

(b) Raggio nel campo magnetico (forza di Lorentz). Prima la velocità dell’elettrone (non relativistica: $E_k\ll m_e c^2$). Converto $E_k = 1{,}83\;\text{eV} = 2{,}93\cdot 10^{-19}\;$J: $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}93\cdot 10^{-19}}{9{,}11\cdot 10^{-31}}} \approx 8{,}0\cdot 10^{5}\;\text{m/s}$ Nel campo la forza di Lorentz $\pq{F}=q\pq{v}\times\pq{B}$ è centripeta e genera un moto circolare uniforme. Uguagliando forza di Lorentz e forza centripeta, $evB = m_e v^2/r$, si ricava: $r = \frac{m_e v}{eB} = \frac{9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 8{,}0\cdot 10^{5}}{1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}}$ $\ev{r \approx 4{,}6\cdot 10^{-3}\;\text{m} \approx 4{,}6\;\text{mm}}$

Le connessioni: effetto fotoelettrico (cap. 21) per convertire luce in energia cinetica, forza di Lorentz (cap. 17) per il moto circolare, con la conservazione dell’energia (cap. 4) che lega frequenza della luce e velocità dell’elettrone. Nota il ponte tra i mondi: un fenomeno quantistico (il fotone) fissa la velocità, un fenomeno classico (il moto in campo magnetico) ne determina la traiettoria.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica · Magnetismo Concetti: Effetto fotoelettrico · Fotone · Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme