Circuito RC e trasmissione d'onda: circuiti, onde ed energia

Testo

Un condensatore di capacità $C = 10\;\mu$F, inizialmente carico a $V_0 = 100$ V, si scarica su una resistenza $R = 100\;\Omega$. Il circuito comprende anche un’antenna che dovrebbe irradiare un’onda EM a frequenza $f = 1$ MHz. Determinare: (a) la costante di tempo $\tau$ della scarica, (b) l’energia inizialmente immagazzinata, (c) discutere l’analogia tra la scarica RC e l’estinzione esponenziale di un’onda smorzata, e perché il circuito non può generare l’onda richiesta.

Soluzione

(a) Costante di tempo. Per un circuito RC il tempo caratteristico della scarica è il prodotto resistenza-capacità: $\tau = RC = 100 \times 10\cdot 10^{-6} = 10^{-3}\;\text{s}$ $\ev{\tau = 1\;\text{ms}}$

(b) Energia immagazzinata. L’energia in un condensatore carico è $E = \tfrac12 CV^2$: $E_0 = \tfrac12 C V_0^2 = \tfrac12\cdot 10\cdot 10^{-6}\cdot (100)^2$ $\ev{E_0 = 0{,}05\;\text{J}}$

(c) Analogia e limite del circuito. La tensione decade esponenzialmente: $V(t) = V_0\,e^{-t/\tau}$

Scarica esponenziale del condensatore: dopo un tempo $\tau$ la tensione è scesa al 37% del valore iniziale.

La frequenza tipica della scarica è $\sim 1/\tau \approx 1$ kHz, mille volte più bassa del megahertz richiesto dall’antenna. Il circuito RC è troppo lento per modulare un segnale radio: per generare onde a MHz serve un circuito LC risonante, in cui l’energia oscilla avanti e indietro tra condensatore e induttore invece di dissiparsi.

Analogia universale. La forma $V(t)=V_0 e^{-t/\tau}$ è identica all’inviluppo di un’onda smorzata e alla legge $N(t)=N_0 e^{-\lambda t}$ di una popolazione di nuclei radioattivi. Il decadimento esponenziale è una struttura matematica che ricorre ovunque una grandezza diminuisca a un tasso proporzionale al proprio valore.

Le connessioni: circuiti RC (cap. 15), onde EM e circuiti risonanti (cap. 19), con analogie verso il decadimento radioattivo (cap. 22) e l’oscillatore smorzato (cap. 4b).

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici · Onde elettromagnetiche Concetti: Circuito RC · Capacità e condensatore · Decadimento radioattivo