Problema — Risultante di due forze

Testo

Due forze giacciono nello stesso piano: $\vv{F}_1$ ha modulo $5\;\text{N}$ e forma un angolo di $0^\circ$ con l’asse $x$; $\vv{F}_2$ ha modulo $4\;\text{N}$ ed è diretta a $60^\circ$ sopra l’asse $x$. Calcola modulo e direzione della risultante $\vv{R} = \vv{F}_1 + \vv{F}_2$.

Soluzione

Passo 1 — Componenti cartesiane. Scomponiamo ciascuna forza lungo gli assi. La prima è diretta lungo $x$; la seconda forma $60^\circ$ con $x$:

$\begin{aligned} F_{1x} &= 5\;\text{N}, & F_{1y} &= 0 \\ F_{2x} &= 4\cos 60^\circ = 4\cdot 0{,}5 = 2{,}0\;\text{N}, & F_{2y} &= 4\sin 60^\circ = 4\cdot 0{,}866 = 3{,}46\;\text{N} \end{aligned}$

Passo 2 — Componenti della risultante. Si sommano componente per componente:

$R_x = F_{1x} + F_{2x} = 5 + 2{,}0 = 7{,}0\;\text{N}, \qquad R_y = F_{1y} + F_{2y} = 0 + 3{,}46 = 3{,}46\;\text{N}$

Passo 3 — Modulo.

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{7{,}0^2 + 3{,}46^2} = \sqrt{49 + 12{,}0} = \sqrt{61{,}0} \approx 7{,}8\;\text{N}$

Passo 4 — Direzione. L’angolo rispetto all’asse $x$ è:

$\theta = \arctan\!\frac{R_y}{R_x} = \arctan\!\frac{3{,}46}{7{,}0} = \arctan 0{,}49 \approx 26^\circ$

Risultato.

$\ev{R \approx 7{,}8\;\text{N}, \qquad \theta \approx 26^\circ}$

Nota sulla chiave di correzione $R \approx 7{,}2\;\text{N}$, $\theta \approx 34^\circ$) non è coerente con i dati dell'esercizio. Con $F_1 = 5\;\text{N}$ a $0^\circ$ e $F_2 = 4\;\text{N}$ a $60^\circ$ si ottiene inevitabilmente $R = \sqrt{61} \approx 7{,}8\;\text{N}$ e $\theta \approx 26^\circ$, come sopra. Il valore corretto è quello ricavato qui: si tratta di un refuso nella chiave delle soluzioni.

La risposta stampata a margine del libro (

Collegamenti

Argomenti: Vettori Concetti: Componenti di un vettore Competenze: Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane