Esercizio svolto — Gittata di un proiettile

Testo

Un proiettile parte a $40\;\text{m/s}$ con angolo $45^\circ$. Calcola gittata e altezza massima (trascurando la resistenza dell’aria).

Soluzione

Componenti iniziali. Scomponiamo la velocità iniziale lungo gli assi. Con $\theta = 45^\circ$ e $v_0 = 40\;\text{m/s}$:

$v_{0x} = v_0\cos 45^\circ = \frac{40}{\sqrt 2} \approx 28{,}28\;\mathrm{m/s}, \qquad v_{0y} = v_0\sin 45^\circ \approx 28{,}28\;\mathrm{m/s}$

Come per la caduta libera in 2D, il moto è la sovrapposizione di un moto orizzontale uniforme (velocità $v_{0x}$) e di un moto verticale uniformemente accelerato con accelerazione $-g$.

Gittata. È la distanza orizzontale percorsa quando il proiettile ritorna alla quota di partenza. Usando la formula generale:

$x_\text{max} = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g} = \frac{40^2 \cdot \sin 90^\circ}{9{,}81} = \frac{1600 \cdot 1}{9{,}81} \approx 163\;\mathrm{m}$

Altezza massima. Nel punto più alto la componente verticale della velocità si annulla ($v_y = 0$). Usando $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g\,h$ con $v_y = 0$:

$h_\text{max} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} = \frac{1600 \cdot 0{,}5}{19{,}62} \approx 40{,}8\;\mathrm{m}$

A $45^\circ$ si ottiene la gittata massima a parità di $v_0$ (senza attrito): è l’angolo che bilancia velocità orizzontale e tempo di volo.

$\ev{x_\text{max} \approx 163\;\mathrm{m}, \quad h_\text{max} \approx 40{,}8\;\mathrm{m}}$

Collegamenti

Argomenti: Cinematica · Vettori Concetti: Moto parabolico Competenze: Scomposizione vettoriale · Uso della trigonometria