Cassa con forza a tratti

Testo

Una cassa di $5\ \text{kg}$ parte da ferma su un pavimento liscio. La forza applicata vale $F = 10\ \text{N}$ tra $t = 0$ e $t = 2\ \text{s}$, poi $F = 0$ tra $2$ e $4\ \text{s}$, infine $F = -5\ \text{N}$ tra $4$ e $6\ \text{s}$. Disegna qualitativamente $v(t)$ e calcola $v(2)$, $v(4)$, $v(6)$.

Soluzione

Il pavimento è liscio, quindi l’unica forza orizzontale è quella applicata $F$. Per la seconda legge di Newton l’accelerazione in ogni tratto vale $a = F/m$, con $m = 5\ \text{kg}$. Analizziamo i tre intervalli, tenendo conto che la cassa parte da ferma, $v(0) = 0$.

Intervallo $0 \le t \le 2\ \text{s}$ ($F = 10\ \text{N}$): $a_1 = \frac{F}{m} = \frac{10}{5} = 2{,}0\ \text{m/s}^2$ La velocità cresce linearmente: $v(2) = v(0) + a_1 \cdot 2 = 0 + 2{,}0 \cdot 2 = 4\ \text{m/s}$

Intervallo $2 \le t \le 4\ \text{s}$ ($F = 0$): $a_2 = \frac{0}{5} = 0\ \text{m/s}^2$ Senza forza la cassa procede per inerzia a velocità costante: $v(4) = v(2) + a_2 \cdot 2 = 4 + 0 = 4\ \text{m/s}$

Intervallo $4 \le t \le 6\ \text{s}$ ($F = -5\ \text{N}$): $a_3 = \frac{-5}{5} = -1{,}0\ \text{m/s}^2$ La forza è ora opposta al moto e la cassa rallenta: $v(6) = v(4) + a_3 \cdot 2 = 4 + (-1{,}0) \cdot 2 = 2\ \text{m/s}$

$\ev{v(2) = 4\ \text{m/s}, \quad v(4) = 4\ \text{m/s}, \quad v(6) = 2\ \text{m/s}}$

Grafico qualitativo di $v(t)$. Il diagramma velocità-tempo è formato da tre tratti rettilinei: una rampa crescente da $0$ a $4\ \text{m/s}$ nei primi $2\ \text{s}$ (pendenza $+2$), un tratto piatto a $4\ \text{m/s}$ tra $2$ e $4\ \text{s}$ (pendenza nulla), e infine una discesa da $4$ a $2\ \text{m/s}$ tra $4$ e $6\ \text{s}$ (pendenza $-1$). La pendenza di ogni tratto è proprio l’accelerazione corrispondente.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica · Cinematica Concetti: Seconda legge di Newton · Accelerazione Competenze: Lettura dei grafici