Angolo di sopraelevazione della curva

Testo

Per evitare che la sicurezza dipenda solo dall’attrito, le autostrade prevedono curve sopraelevate. Calcola l’angolo di sopraelevazione che consentirebbe di percorrere una curva di raggio $r = 40\;\text{m}$ (la stessa del problema precedente) con $v = 90\;\text{km/h}$ in assenza di attrito.

Soluzione

Dati. $r = 40\;\text{m}$, $v = 90\;\text{km/h}$, $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$, attrito nullo.

Conversione della velocità: $v = 90\;\text{km/h} = \frac{90}{3{,}6} = 25\;\text{m/s}$

Impostazione. Senza attrito, sul veicolo agiscono solo il peso $\vec{P}$ (verticale, verso il basso) e la reazione normale $\vec{R}$ (perpendicolare al manto stradale inclinato di $\theta$). Scomponendo $\vec{R}$: $\begin{cases} R\sin\theta = \dfrac{m\,v^2}{r} & \text{(orizzontale: forza centripeta)} \\ R\cos\theta = mg & \text{(verticale: equilibrio col peso)} \end{cases}$

Dividendo la prima equazione per la seconda si eliminano $R$ e $m$: $\tan\theta = \frac{v^2}{g\,r}$

Sostituzione numerica: $\tan\theta = \frac{25^2}{9{,}8 \cdot 40} = \frac{625}{392} = 1{,}59 \quad\Rightarrow\quad \theta = \arctan(1{,}59) = 57{,}9^\circ$

Risultato. $\ev{\tan\theta = \frac{v^2}{g\,r} \;\Rightarrow\; \theta \approx 58^\circ}$

Un angolo così ripido segnala che $90\;\text{km/h}$ su un raggio di soli $40\;\text{m}$ è una curva estrema: nelle autostrade reali i raggi sono molto maggiori e le sopraelevazioni si aggirano sui pochi gradi.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Moto circolare uniforme · Forza centripeta · Forza normale · Forza peso Competenze: Scomposizione vettoriale · Uso della trigonometria Oggetti: Curva sopraelevata