Molla in rotazione

Un caso elegante: un oggetto legato a una molla che ruota attorno a un perno su un piano orizzontale liscio. Qui è la forza elastica a fornire la forza centripeta, e la particolarità è che il raggio del moto coincide con la lunghezza della molla, che a sua volta dipende da quanto la molla si allunga — un piccolo gioco di reciproca dipendenza da risolvere.

Durante la rotazione la molla si allunga fino a una lunghezza $\ell$ (maggiore della lunghezza a riposo $\ell_0$). La forza elastica $K(\ell - \ell_0)$ è diretta verso il perno e fa da forza centripeta. Poiché il raggio del moto è proprio $\ell$:

$K(\ell - \ell_0) = m\omega^2\ell$

È un’equazione lineare nell’incognita $\ell$: raccogliendo,

$\ell = \frac{K\,\ell_0}{K - m\omega^2}$

Formula chiave — Molla rotante

$K(\ell - \ell_0) = m\omega^2\ell$

Quando la molla "cede"

Se $K$ è troppo piccola rispetto a $m\omega^2$ (cioè $K \leq m\omega^2$), il denominatore $K - m\omega^2$ si annulla o diventa negativo e l’equazione dà $\ell \to \infty$ o $\ell < 0$: la molla non riesce a sostenere la rotazione. Fisicamente, la molla si allungherebbe senza limite o si romperebbe, e l’oggetto volerebbe via. C’è una velocità di rotazione critica oltre la quale il sistema non ha soluzione stazionaria.

L’applicazione numerica è svolta in Pallina su molla rotante.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza centripeta · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla

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