Pallina su molla rotante

Testo

Una pallina di $2\;\text{kg}$ è legata a una molla ($K = 2000\;\text{N/m}$, lunghezza a riposo $\ell_0 = 1\;\text{m}$) che ruota con periodo $T = 0{,}5\;\text{s}$ attorno a un perno. Trovare la lunghezza della molla durante la rotazione.

Soluzione

Dati. $m = 2\;\text{kg}$, $K = 2000\;\text{N/m}$, $\ell_0 = 1\;\text{m}$, $T = 0{,}5\;\text{s}$.

Velocità angolare: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\;\text{rad/s}$

Impostazione. Durante la rotazione la molla si allunga: la forza elastica fornisce tutta la forza centripeta. Il raggio del moto coincide con la lunghezza $\ell$ della molla, quindi: $K(\ell - \ell_0) = m\omega^2 \ell$

Sostituzione numerica ($m\omega^2 = 2 \cdot (4\pi)^2 = 2 \cdot 157{,}9 = 315{,}8$): $2000(\ell - 1) = 315{,}8\,\ell$ $2000\,\ell - 2000 = 315{,}8\,\ell$ $(2000 - 315{,}8)\,\ell = 2000 \quad\Rightarrow\quad 1684{,}2\,\ell = 2000$ $\ell = \frac{2000}{1684{,}2} = 1{,}19\;\text{m}$

Risultato. $\ev{\ell = \frac{K\,\ell_0}{K - m\omega^2} = 1{,}19\;\text{m}}$

Attenzione: se $K$ fosse troppo piccola rispetto a $m\omega^2$, il denominatore diventerebbe negativo e l’equazione darebbe $\ell < 0$: la molla non riuscirebbe a sostenere la rotazione (si romperebbe e la pallina volerebbe via).

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Moto circolare uniforme · Forza centripeta · Forza elastica e legge di Hooke · Velocità angolare Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla