Piano inclinato con puleggia e massa appesa

Testo

Un blocco di massa $m_1 = 3{,}0\;\mathrm{kg}$ è su un piano inclinato liscio di $30^\circ$ ed è collegato, tramite una fune ideale che passa su una puleggia ideale posta sulla sommità, a un blocco $m_2 = 2{,}0\;\mathrm{kg}$ che pende verticalmente. Determina il verso e il modulo dell’accelerazione del sistema e la tensione della fune.

Soluzione

Diagramma di corpo libero. Su $m_1$ (sul piano liscio) agiscono: peso, normale e tensione $T$ diretta lungo il piano verso la puleggia. La componente del peso lungo il piano vale $m_1 g\sin\theta$. Su $m_2$ (appeso) agiscono: peso $m_2 g$ verso il basso e tensione $T$ verso l’alto.

Verso del moto. Confrontiamo le due forze “motrici”: $m_2 g = 2{,}0\cdot 9{,}8 = 19{,}6\;\mathrm{N}\qquad m_1 g\sin\theta = 3{,}0\cdot 9{,}8\cdot 0{,}50 = 14{,}7\;\mathrm{N}$ Poiché $m_2 g > m_1 g\sin\theta$, il blocco appeso scende e $m_1$ sale lungo il piano.

Seconda legge di Newton (asse positivo nel verso del moto, stesso modulo $a$ per i due blocchi perché la fune è inestensibile): $\begin{aligned} m_2 g - T &= m_2 a \\ T - m_1 g\sin\theta &= m_1 a \end{aligned}$

Sommando le due equazioni elimino $T$: $a = \frac{m_2 g - m_1 g\sin\theta}{m_1 + m_2} = \frac{19{,}6 - 14{,}7}{5{,}0} = \frac{4{,}9}{5{,}0}\;\mathrm{m/s^2}$

$\ev{a \approx 0{,}98\;\mathrm{m/s^2}\ \text{(m}_2\text{ scende, m}_1\text{ sale)}}$

Tensione. Dalla prima equazione: $T = m_2(g - a) = 2{,}0\cdot(9{,}8 - 0{,}98) = 2{,}0\cdot 8{,}82\;\mathrm{N}$

$\ev{T \approx 17{,}6\;\mathrm{N}}$

Controllo di coerenza: $m_1 g\sin\theta + m_1 a = 14{,}7 + 3{,}0\cdot 0{,}98 = 17{,}6\;\mathrm{N}$, uguale a $T$. La tensione è compresa fra $m_1 g\sin\theta$ e $m_2 g$, come atteso per un sistema che accelera.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione · Forza peso Competenze: Scomposizione sul piano inclinato · Applicazione delle leggi di Newton · Diagramma di corpo libero Metodi: Metodo del diagramma di corpo libero Oggetti: Piano inclinato · Blocco · Puleggia · Fune ideale