Molla su piano inclinato

Testo

Un blocco di $3\;\text{kg}$ su un piano a $33^\circ$ è collegato a una molla ($K = 100\;\text{N/m}$, lunghezza a riposo $\ell_0 = 1\;\text{m}$, lunghezza attuale $\ell = 0{,}5\;\text{m}$) ancorata alla sommità del piano. Trovare l’accelerazione.

Soluzione

Dati. $m = 3\;\text{kg}$, $\theta = 33^\circ$, $K = 100\;\text{N/m}$, $\ell_0 = 1\;\text{m}$, $\ell = 0{,}5\;\text{m}$.

Forza elastica. La molla è compressa ($\ell < \ell_0$): per la legge di Hooke tende ad allungarsi, quindi spinge il blocco lontano dall’ancoraggio, cioè verso il basso del piano. $\abs{\vec{F}_m} = K\abs{\ell - \ell_0} = 100 \cdot 0{,}5 = 50\;\text{N}$

Assi. Asse lungo il piano, positivo verso l’alto. Sul blocco agiscono il peso (componente $-mg\sin\theta$), la reazione normale $\vec{R}$ e la forza elastica ($-50\;\text{N}$, verso il basso).

Seconda legge lungo il piano. $-mg\sin33^\circ - 50 = m\,a \quad\Rightarrow\quad -29{,}43 \cdot 0{,}545 - 50 = 3a \quad\Rightarrow\quad -16 - 50 = 3a$ $a = \frac{-66}{3} = -22\;\text{m/s}^2$ Il segno negativo conferma che il blocco accelera in discesa: peso e molla compressa spingono nella stessa direzione.

Perpendicolare al piano (reazione vincolare): $R = mg\cos33^\circ = 29{,}43 \cdot 0{,}839 = 24{,}7\;\text{N}$

Risultato. $\ev{a = -22\;\text{m/s}^2 \quad (\text{in discesa}), \qquad R = 24{,}7\;\text{N}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Forza elastica e legge di Hooke · Forza peso · Forza normale Competenze: Scomposizione sul piano inclinato · Diagramma di corpo libero Oggetti: Piano inclinato · Molla · Blocco