La puleggia di Atwood: la forza sull'asse

Testo

La puleggia di Atwood: occhio all’asse. Sulla puleggia ideale del problema precedente sostituiamo i valori numerici con $m = 5\;\mathrm{kg}$ e $M = 10\;\mathrm{kg}$, lasciando il sistema libero di muoversi. Domanda: qual è il modulo della forza che il perno della puleggia deve esercitare verso l’alto per restare fermo? Confronta il risultato con il valore $(M+m)g$ che si avrebbe se il sistema fosse bloccato (per esempio bloccando la fune sulla puleggia): perché il perno tiene meno peso quando il sistema si muove? Spunto da (Povey 2015).

Soluzione

Accelerazione della macchina di Atwood. Le due masse sono collegate dalla fune ideale sulla puleggia ideale; $M$ scende, $m$ sale, con lo stesso modulo di accelerazione: $a = \frac{(M-m)g}{M+m} = \frac{(10-5)\cdot 9{,}8}{15} \approx 3{,}3\;\mathrm{m/s^2}$

Tensione della fune. Per la massa che sale (o che scende) si ottiene la stessa $T$; usando $m$: $T = m(g+a) = \frac{2Mm\,g}{M+m} = \frac{2\cdot 10\cdot 5\cdot 9{,}8}{15} \approx 65{,}3\;\mathrm{N}$

$\ev{T = \dfrac{2Mm\,g}{M+m} \approx 65{,}3\;\mathrm{N}}$

Forza sul perno. La fune ideale, avvolta sulla puleggia, tira l’asse verso il basso su entrambi i lati con la stessa tensione $T$. Perché la puleggia (ideale, di massa trascurabile) resti in equilibrio, il perno deve spingere verso l’alto con: $F_\text{asse} = 2T = \frac{4Mm\,g}{M+m} = \frac{4\cdot 10\cdot 5\cdot 9{,}8}{15}$

$\ev{F_\text{asse} = \dfrac{4Mm\,g}{M+m} \approx 131\;\mathrm{N}}$

Confronto con il sistema bloccato. Se la fune fosse bloccata sulla puleggia, nulla si muove: il perno sosterrebbe l’intero peso appeso, $(M+m)g = 15\cdot 9{,}8 = 147\;\mathrm{N}$ Quando invece il sistema è libero, il perno tiene solo $\approx 131\;\mathrm{N}$, cioè meno di $147\;\mathrm{N}$.

Perché il perno tiene meno peso quando il sistema si muove. Perché le due masse accelerano: $M$ scende accelerando verso il basso, $m$ sale accelerando verso l’alto. Per la seconda legge di Newton, la fune deve esercitare una forza inferiore al peso di $M$ (per lasciarla accelerare in giù) e superiore al peso di $m$ (per farla accelerare in su): la tensione è la stessa $T$ da entrambi i lati e vale un valore intermedio. La somma dei due pesi non è più bilanciata solo dal perno: una parte della forza-peso di $M$ “va” nell’accelerare le masse anziché scaricarsi sull’asse. Formalmente: $(M+m)g - F_\text{asse} = (M+m)g - \frac{4Mm\,g}{M+m} = \frac{(M-m)^2 g}{M+m} = (M-m)\,a$ Questa differenza, $(M-m)g - \dots$, è esattamente la forza netta che accelera il sistema. In caso limite $M=m$ nulla si muove e $F_\text{asse} = (M+m)g$: il perno regge tutto il peso solo quando il sistema è in equilibrio.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione · Forza peso Competenze: Applicazione delle leggi di Newton · Diagramma di corpo libero · Impostazione simbolica Metodi: Metodo del diagramma di corpo libero Oggetti: Macchina di Atwood · Puleggia · Fune ideale