Velocità di un pendolo conico

Testo

Una piccola sfera è legata a un filo di lunghezza $\ell = 0{,}80\;\mathrm{m}$ e ruota in un cerchio orizzontale (pendolo conico). Se l’angolo del filo con la verticale è $\theta = 30^\circ$, qual è la velocità della sfera?

Soluzione

Geometria. Il filo descrive un cono di semiapertura $\theta$. Il raggio del cerchio orizzontale è la proiezione del filo: $r = \ell\sin\theta = 0{,}80\cdot\sin 30^\circ = 0{,}80\cdot 0{,}50 = 0{,}40\;\mathrm{m}$

Diagramma di corpo libero. Sulla sfera agiscono solo il peso $mg$ (verticale, in basso) e la tensione $T$ lungo il filo. La tensione si scompone in:

• componente verticale $T\cos\theta$, che bilancia il peso;
• componente orizzontale $T\sin\theta$, che fornisce la forza centripeta.

Equazioni di Newton. $\begin{aligned} T\cos\theta &= mg \\ T\sin\theta &= \frac{m v^2}{r} \end{aligned}$

Eliminazione di $T$. Dividendo membro a membro la seconda per la prima ($T$ e $m$ si semplificano): $\tan\theta = \frac{v^2}{g\,r} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{g\,r\,\tan\theta}$

Sostituzione numerica. $v = \sqrt{9{,}8\cdot 0{,}40\cdot\tan 30^\circ} = \sqrt{9{,}8\cdot 0{,}40\cdot 0{,}577} = \sqrt{2{,}26}\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v \approx 1{,}5\;\mathrm{m/s}}$

Nota: la velocità non dipende dalla massa della sfera (si semplifica), ma solo da lunghezza del filo e angolo.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza centripeta · Tensione · Moto circolare uniforme · Forza peso Competenze: Diagramma di corpo libero · Scomposizione vettoriale · Uso della trigonometria · Applicazione delle leggi di Newton Metodi: Metodo del diagramma di corpo libero Oggetti: Pendolo conico · Fune ideale