Il pendolo conico

Un pendolo conico è un oggetto appeso a un filo che ruota descrivendo un cerchio orizzontale: il filo spazza la superficie di un cono, da cui il nome. È l’esempio-tipo in cui la forza centripeta è fornita da una componente della tensione.

Il filo, lungo $\ell$ e inclinato di un angolo $\theta$ rispetto alla verticale, sostiene la massa mentre questa gira. Il raggio del cerchio descritto è

$r = \ell\sin\theta$

La tensione $\vec{t}$ è diretta lungo il filo, e si scompone in una componente orizzontale $t\sin\theta$ (verso il centro, che fa da forza centripeta) e una verticale $t\cos\theta$ (verso l’alto, che sostiene il peso). La seconda legge di Newton dà allora due equazioni:

$\begin{cases} t\sin\theta = m\omega^2 r = m\omega^2\ell\sin\theta \\ t\cos\theta = mg \end{cases}$

Dalla prima equazione si semplifica $\sin\theta$ e resta $t = m\omega^2\ell$. Sostituendo nella seconda:

$m\omega^2\ell\cos\theta = mg \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = \frac{g}{\omega^2\ell}$

Formula chiave — Pendolo conico

$\cos\theta = \frac{g}{\omega^2\ell}$

La relazione è ricca di conseguenze fisiche. Più veloce è la rotazione (grande $\omega$), più piccolo è $\cos\theta$, cioè più il filo si “apre” avvicinandosi all’orizzontale. Ma $\cos\theta$ non può mai annullarsi: l’angolo $\theta = 90^\circ$ (filo orizzontale) richiederebbe $\omega \to \infty$ ed è quindi irraggiungibile — vedi il caso limite in Pendolo conico critico. Le applicazioni numeriche sono in Pendolo conico e Velocità di un pendolo conico.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza centripeta · Tensione Competenze: Applicazione delle leggi di Newton · Impostazione simbolica Oggetti: Pendolo conico

Esercizi collegati: Velocità di un pendolo conico · Forza centripeta su un filo · Pendolo conico critico