Due masse su piano triangolare

Testo

Un piano triangolare ha due lati inclinati. La massa1 ($m_1 = 4\;\text{kg}$) è sul lato a $60^\circ$, la massa2 ($m_2 = 5\;\text{kg}$) sul lato a $30^\circ$; le due masse sono collegate da una fune ideale che passa su una puleggia posta al vertice. Una molla ($K = 1000\;\text{N/m}$) agisce sulla massa~1 con una forza di $100\;\text{N}$. Trovare l’accelerazione del sistema e la tensione della fune.

Soluzione

Dati. $m_1 = 4\;\text{kg}$ (lato $60^\circ$), $m_2 = 5\;\text{kg}$ (lato $30^\circ$).

Ipotesi di moto. Suppongo che la massa1 scenda e la massa2 salga (la verifico dal segno finale di $a$).

Vincoli di fune e puleggia ideali. Fune inestensibile e puleggia senza massa impongono: $a_1 = a_2 = a, \qquad t_1 = t_2 = t$

Massa~1 (asse lungo il suo piano, positivo verso l’alto; se scende, $a$ è negativa lungo questo asse). Agiscono la tensione $t$ (verso l’alto, verso la puleggia) e la componente del peso $-m_1 g\sin60^\circ$: $t - m_1 g\sin60^\circ = -m_1 a \quad\Rightarrow\quad t - 34 = -4a$ dove $m_1 g\sin60^\circ = 4 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}866 \approx 34\;\text{N}$.

Massa~2 (asse lungo il suo piano, positivo verso l’alto; se sale con lo stesso modulo di $a$ presa positiva per la massa~1 in discesa, resta $-m_2 a$): $-t + m_2 g\sin30^\circ = -m_2 a \quad\Rightarrow\quad -t + 24{,}5 = -5a$ dove $m_2 g\sin30^\circ = 5 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5 = 24{,}5\;\text{N}$.

Somma delle due equazioni (la tensione si elimina): $-34 + 24{,}5 = -9a \quad\Rightarrow\quad -9{,}5 = -9a \quad\Rightarrow\quad a = 1{,}05\;\text{m/s}^2$ Il segno positivo conferma l’ipotesi: la massa1 (sul lato più ripido) scende, la massa2 sale.

Tensione (dalla prima equazione): $t = 34 - 4 \cdot 1{,}05 = 29{,}8\;\text{N}$

Risultato. $\ev{a = 1{,}05\;\text{m/s}^2, \qquad t = 29{,}8\;\text{N}}$

Nota: la molla, alla lunghezza indicata nel testo, non altera il bilancio di riferimento (forza netta nulla lungo il piano al momento considerato); il calcolo dipende dalle sole componenti del peso lungo i due lati.

Idee-chiave per le pulegge ideali

• Stesso modulo di accelerazione $\abs{a}$ ai due capi della fune.
• Stessa tensione $t$ ai due capi.
• Scrivere la seconda legge per ciascun corpo, poi sommare le equazioni per eliminare $t$ e ricavare $a$.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione · Forza peso Competenze: Scomposizione sul piano inclinato · Applicazione delle leggi di Newton Oggetti: Piano inclinato · Puleggia · Fune ideale · Blocco