Esercizio svolto — Curva sopraelevata senza attrito

Testo

Una curva di raggio $r = 100\ \mathrm{m}$ è sopraelevata con angolo $\alpha = 15^\circ$. A quale velocità un’auto può percorrerla senza ricorrere all’attrito?

Curva sopraelevata: peso $m\vec g$ e normale $\vec N$; la componente orizzontale di $\vec N$ fornisce l’accelerazione centripeta $\vec a_c$.

Soluzione

Metodo. Sulla strada agiscono solo peso $m\vec g$ (verticale) e normale $\vec N$ (perpendicolare al fondo stradale). Per il moto circolare serve una forza centripeta orizzontale, diretta verso il centro della curva. Scomponendo $\vec N$: componente verticale $N\cos\alpha = mg$, componente orizzontale $N\sin\alpha = mv^2/r$: $N\cos\alpha = mg \qquad N\sin\alpha = \frac{mv^2}{r}$

Dividendo membro a membro: $\tan\alpha = \frac{v^2}{gr} \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{gr\tan\alpha}$

Numericamente: $v = \sqrt{9{,}81\cdot 100\cdot 0{,}268} \approx 16{,}2\ \mathrm{m/s} \approx 58\ \mathrm{km/h}$

$\ev{v = \sqrt{gr\tan\alpha} \approx 16{,}2\ \mathrm{m/s} \approx 58\ \mathrm{km/h}}$

A questa velocità la sola reazione vincolare basta a curvare l’auto: niente attrito, niente sforzo sui pneumatici.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza centripeta · Forza normale · Accelerazione centripeta · Seconda legge di Newton Competenze: Scomposizione vettoriale Metodi: Metodo del diagramma di corpo libero Oggetti: Curva sopraelevata