Quattro dischi concatenati

Testo

Quattro dischi sono collegati tra loro come segue:

• Disco 1 (raggio $r_1 = 1\;\text{m}$) e disco 2 (raggio $r_2 = 0{,}5\;\text{m}$) sono in contatto di bordo (ingranaggi).
• Disco 1 e disco 3 (raggio $r_3 = 0{,}3\;\text{m}$) sono coassiali (montati sullo stesso asse, solidali).
• Disco 3 e disco 4 (raggio $r_4 = 0{,}1\;\text{m}$) sono collegati da una puleggia con cinghia.

Si sa che il disco 2 ruota con $\omega_2 = -2\;\text{rad/s}$ (senso orario). Trovare le velocità angolari degli altri tre dischi.

I tre tipi di connessione: ingranaggi (1–2), coassiali (1–3), puleggia con cinghia (3–4).

Soluzione

Regole delle tre connessioni. Ingranaggi (contatto di bordo): stessa velocità tangenziale $v$, segni di $\omega$ opposti. Coassiali: stessa $\omega$ (stesso modulo e segno), $v$ diverse. Puleggia con cinghia: stessa velocità tangenziale $v$, stesso segno di $\omega$.

Passo 1 — da disco 2 a disco 1 (ingranaggi). Stessa $v$ al punto di contatto: $\abs{v_1} = \abs{v_2} = \abs{\omega_2}\,r_2 = 2 \cdot 0{,}5 = 1\;\text{m/s}$ $\abs{\omega_1} = \frac{\abs{v_1}}{r_1} = \frac{1}{1} = 1\;\text{rad/s}$ Gli ingranaggi girano in verso opposto, quindi $\omega_1 = +1\;\text{rad/s}$ (antiorario).

Passo 2 — da disco 1 a disco 3 (coassiali). Stessa velocità angolare: $\omega_3 = \omega_1 = +1\;\text{rad/s}$ $v_3 = \omega_3\,r_3 = 1 \cdot 0{,}3 = 0{,}3\;\text{m/s}$ (la velocità tangenziale del bordo del disco 3 è diversa da $v_1$, perché il raggio è diverso).

Passo 3 — da disco 3 a disco 4 (puleggia con cinghia). Stessa $v$ della cinghia: $\abs{v_4} = \abs{v_3} = 0{,}3\;\text{m/s}$ $\abs{\omega_4} = \frac{\abs{v_4}}{r_4} = \frac{0{,}3}{0{,}1} = 3\;\text{rad/s}$ La cinghia trasmette lo stesso verso: $\omega_4 = +3\;\text{rad/s}$ (antiorario).

Riepilogo.

	Disco 1	Disco 2	Disco 3	Disco 4
$r$ (m)	$1$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}1$
$\omega$ (rad/s)	$+1$	$-2$	$+1$	$+3$
$v$ (m/s)	$1$	$1$	$0{,}3$	$0{,}3$

Verifica delle regole.

• Disco 1–2 (ingranaggi): $\abs{v_1} = \abs{v_2} = 1$ ✓; $\omega_1 = +1$, $\omega_2 = -2$, segni opposti ✓.
• Disco 1–3 (coassiali): $\omega_1 = \omega_3 = +1$ ✓; $v_1 = 1$, $v_3 = 0{,}3$, diverse ✓.
• Disco 3–4 (puleggia): $\abs{v_3} = \abs{v_4} = 0{,}3$ ✓; $\omega_3 = +1$, $\omega_4 = +3$, stesso segno ✓.

Risultato. $\ev{\omega_1 = +1\;\text{rad/s}, \quad \omega_3 = +1\;\text{rad/s}, \quad \omega_4 = +3\;\text{rad/s}}$

Osservazione: il disco 4 è il più veloce in $\omega$ pur avendo il raggio più piccolo. È il principio della trasmissione meccanica — trasferire il moto da una velocità angolare a un’altra usando coppie di dischi (come i rapporti del cambio della bicicletta).

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Moto circolare uniforme · Velocità angolare Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Ingranaggi e dischi coassiali · Disco rotante · Puleggia