Pendolo conico critico

Testo

Un pendolo conico di lunghezza $\ell = 1\;\mathrm{m}$ ruota con angolo $\theta$ rispetto alla verticale. Cosa accade alla tensione $T$ e alla velocità angolare $\omega$ quando $\theta \to 90^\circ$? Perché l’angolo limite non si raggiunge mai con un filo reale?

La tensione del filo (lungo il filo) e il peso (verticale) sono le uniche forze: la loro risultante orizzontale è la forza centripeta.

Soluzione

Equazioni del moto. La massa descrive una circonferenza orizzontale di raggio $r = \ell\sin\theta$. Le uniche forze sono la tensione $\vv T$ (lungo il filo) e il peso $m\vv g$. Le scomponiamo lungo la verticale e l’orizzontale.

Verticale (equilibrio, nessuna accelerazione verticale): $T\cos\theta = mg$ Orizzontale (la componente orizzontale di $T$ è la forza centripeta): $T\sin\theta = m\,\omega^2 r = m\,\omega^2 \ell\sin\theta$ Dalla seconda, semplificando $\sin\theta$: $T = m\,\omega^2 \ell$. Uguagliando con la prima ($T = mg/\cos\theta$): $m\,\omega^2 \ell = \frac{mg}{\cos\theta} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{g}{\ell\cos\theta}}$

Limite $\theta \to 90^\circ$. Quando $\theta \to 90^\circ$ si ha $\cos\theta \to 0$, quindi: $T = \frac{mg}{\cos\theta} \to \infty, \qquad \omega = \sqrt{\frac{g}{\ell\cos\theta}} \to \infty$ Sia la tensione sia la velocità angolare divergono: servirebbe una tensione infinita e una rotazione infinitamente veloce per portare il filo perfettamente orizzontale. Fisicamente il motivo è che il filo, essendo teso, non può avere componente verticale nulla e sostenere comunque il peso: la componente verticale $T\cos\theta$ deve sempre valere $mg$, e per farlo con $\cos\theta \to 0$ occorre $T \to \infty$.

Perché è irraggiungibile. Un filo reale ha un carico di rottura finito: molto prima che $\theta$ raggiunga $90^\circ$, la tensione supera la resistenza del filo, che si spezza. La configurazione perfettamente orizzontale è quindi un limite ideale, fisicamente irraggiungibile.

$\ev{T = \frac{mg}{\cos\theta} \to \infty, \quad \omega = \sqrt{\frac{g}{\ell\cos\theta}} \to \infty \quad \text{per } \theta \to 90^\circ}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Tensione · Forza centripeta · Moto circolare uniforme Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Pendolo conico