Auto su curva piana

Testo

Un’auto ($1200\;\text{kg}$) percorre una curva piana di raggio $4\;\text{m}$ a $v = 6{,}9\;\text{m/s}$. Il coefficiente di attrito è $\mu = 0{,}5$. L’auto resta in strada?

A sinistra la vista dall’alto (l’accelerazione centripeta punta verso il centro O); a destra la vista laterale con peso $\vec{P}$, reazione $\vec{R}$ e attrito $\vec{F}_a$ che fa da forza centripeta.

Soluzione

Dati. $m = 1200\;\text{kg}$, $r = 4\;\text{m}$, $v = 6{,}9\;\text{m/s}$, $\mu = 0{,}5$, $g = 9{,}81\;\text{m/s}^2$.

Accelerazione centripeta necessaria per mantenere la traiettoria circolare: $\abs{a_c} = \frac{v^2}{r} = \frac{6{,}9^2}{4} = \frac{47{,}61}{4} = 11{,}9\;\text{m/s}^2$

Forza centripeta necessaria: $F_c = m\,a_c = 1200 \cdot 11{,}9 = 14\,280\;\text{N}$

Forza disponibile. Su strada piana l’unica forza diretta verso il centro è l’attrito statico. Il suo valore massimo è (la reazione normale bilancia il peso, $R = mg$): $F_{a,\max} = \mu\,R = \mu\,mg = 0{,}5 \cdot 1200 \cdot 9{,}81 = 5886\;\text{N}$

Confronto. Poiché $F_c = 14\,280\;\text{N} > F_{a,\max} = 5886\;\text{N}$ l’attrito non basta a fornire la forza centripeta richiesta.

Risultato. $\ev{F_c > F_{a,\max} \;\Rightarrow\; \text{l'attrito non basta: l'auto esce di strada.}}$

La velocità massima di sicurezza sarebbe $v_{\max} = \sqrt{\mu g r} = \sqrt{0{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot 4} \approx 4{,}4\;\text{m/s}$, ben inferiore ai $6{,}9\;\text{m/s}$ tenuti.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica · Attrito Concetti: Moto circolare uniforme · Accelerazione centripeta · Forza centripeta · Attrito statico · Forza normale Competenze: Applicazione delle leggi di Newton Oggetti: Curva sopraelevata