Pendolo conico

Testo

Un oggetto di massa $m$ è appeso a un filo di lunghezza $\ell = 2\;\text{m}$ e ruota descrivendo un cerchio orizzontale con periodo $T = 1\;\text{s}$. Trovare l’angolo del filo con la verticale.

Soluzione

Dati. $\ell = 2\;\text{m}$, $T = 1\;\text{s}$, $g = 9{,}81\;\text{m/s}^2$.

Geometria. Il filo forma un angolo $\theta$ con la verticale; il raggio del cerchio orizzontale è $r = \ell\sin\theta$

Componenti della tensione. Verso il centro (orizzontale) $t_x = t\sin\theta$; verso l’alto (verticale) $t_y = t\cos\theta$.

Seconda legge di Newton. Orizzontale (fornisce la forza centripeta $m\omega^2 r$) e verticale (equilibrio col peso): $\begin{cases} t\sin\theta = m\omega^2 r = m\omega^2 \ell\sin\theta \\ t\cos\theta = mg \end{cases}$

Dalla prima equazione si semplifica $\sin\theta$ e resta: $t = m\omega^2 \ell$

Sostituendo nella seconda: $m\omega^2 \ell\cos\theta = mg \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = \frac{g}{\omega^2 \ell}$ (la massa $m$ si semplifica: l’angolo non dipende dalla massa).

Velocità angolare: $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\;\text{rad/s}$

Calcolo numerico: $\cos\theta = \frac{9{,}81}{(2\pi)^2 \cdot 2} = \frac{9{,}81}{78{,}96} = 0{,}124 \quad\Rightarrow\quad \theta = \arccos(0{,}124) = 82{,}9^\circ$

Risultato. $\ev{\cos\theta = \frac{g}{\omega^2 \ell} \;\Rightarrow\; \theta \approx 82{,}9^\circ}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Moto circolare uniforme · Forza centripeta · Tensione · Velocità angolare · Forza peso Competenze: Scomposizione vettoriale · Uso della trigonometria Oggetti: Pendolo conico · Fune ideale