La parabola dell'energia potenziale

Quando un corpo si muove lungo una dimensione sotto l’effetto di forze conservative (molla, gravità), la sua energia potenziale totale $E_\text{pot}(x)$ è una funzione della posizione. Il grafico di questa funzione è potentissimo: da una sola curva si legge tutto il comportamento del moto senza risolvere alcuna equazione. Basta tracciare sopra di essa la retta orizzontale dell’energia totale $E_\text{tot}$, che resta costante finché le forze in gioco sono conservative, e confrontare le due.

L’idea è che, in ogni posizione $x$, l’energia cinetica è la differenza verticale tra la retta $E_\text{tot}$ e la curva $E_\text{pot}(x)$: $E_\text{cin}(x) = E_\text{tot} - E_\text{pot}(x)$. Poiché l’energia cinetica non può mai essere negativa, il corpo è confinato dove la curva sta al di sotto della retta. Questo trasforma il grafico in una mappa completa del moto.

Principio — Parabola dell'energia potenziale

• Il punto di equilibrio è il minimo della parabola: lì $E_\text{pot}$ è minima e la forza netta è zero.
• I punti di inversione sono dove $E_\text{pot}(x) = E_\text{tot}$: lì $E_\text{cin} = 0$ (il corpo si ferma e torna indietro).
• La regione accessibile è dove $E_\text{pot}(x) \leq E_\text{tot}$.

Il minimo della curva è un punto di equilibrio perché la forza conservativa è legata alla pendenza dell’energia potenziale: dove la curva è piatta, la forza si annulla. È anche il punto in cui l’energia cinetica raggiunge il valore massimo, poiché lì la distanza verticale dalla retta $E_\text{tot}$ è massima: il corpo passa per l’equilibrio con la velocità più alta. Ai due estremi, invece, la curva incontra la retta: tutta l’energia è potenziale, la cinetica è nulla, il corpo si ferma un istante e inverte il moto. Tra questi due punti di inversione il corpo oscilla avanti e indietro, prigioniero della buca di potenziale.

Grafico dell’energia potenziale: il corpo oscilla tra i punti di inversione $x_1$ e $x_2$ dove $E_\text{pot} = E_\text{tot}$. All’equilibrio l’energia cinetica è massima.

Approfondimento

Con attrito, l’energia totale diminuisce nel tempo: la linea $E_\text{tot}$ scende, i punti di inversione si avvicinano, e il corpo converge verso l’equilibrio con oscillazioni smorzate.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale elastica · Forze conservative · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Molla

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