Esercizio svolto — mela e molla

Testo

Una mela ($m = 0{,}2\;\text{kg}$) cade da un’altezza $h = 3\;\text{m}$ su una molla verticale ($K = 500\;\text{N/m}$, $\ell_0 = 0{,}4\;\text{m}$). Quanto si comprime la molla?

Soluzione

Impostazione. Prendiamo come riferimento la sommità della molla ($h = 0$). Definiamo due stati:

• Stato A: la mela è ferma in alto ($v = 0$), a quota $h = 3\;\text{m}$ sopra la molla a riposo.
• Stato B: la mela è di nuovo ferma ($v = 0$, punto di massima compressione), la molla è compressa di $x$, quindi la mela si trova alla quota $h_B = -x$.

In assenza di attrito l’energia meccanica totale si conserva: $E_{\text{tot}}^A = E_{\text{tot}}^B$.

Tabella energetica (riferimento: sommità della molla):

Stato	$E_{\text{cin}}$	$E_{\text{pot,g}}$	$E_{\text{pot,m}}$	$E_{\text{tot}}$
A	$0$	$0{,}2\cdot 9{,}81\cdot 3 = 5{,}89$	$0$	$5{,}89$
B	$0$	$-0{,}2\cdot 9{,}81\cdot x = -1{,}96\,x$	$\tfrac{1}{2}\cdot 500\cdot x^2 = 250\,x^2$	$5{,}89$

Equazione di conservazione. Uguagliando le due energie totali:

$-1{,}96\,x + 250\,x^2 = 5{,}89$

$250\,x^2 - 1{,}96\,x - 5{,}89 = 0$

Risoluzione (formula risolutiva, si prende la radice positiva):

$x = \frac{1{,}96 + \sqrt{1{,}96^2 + 4\cdot 250\cdot 5{,}89}}{2\cdot 250} = \frac{1{,}96 + \sqrt{5893{,}84}}{500} = \frac{1{,}96 + 76{,}77}{500}$

$\ev{x \approx 0{,}158\;\mathrm{m} \approx 16\;\mathrm{cm}}$

Il termine gravitazionale $-1{,}96\,x$ è piccolo rispetto a quello elastico: la molla assorbe quasi tutta l’energia di caduta.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale · Energia potenziale elastica · Conservazione dell’energia meccanica · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Uso della tabella energetica · Conservazione dell’energia Metodi: Tabella energetica a stati Oggetti: Molla