L'equazione del moto armonico semplice

Consideriamo una massa $m$ collegata a una molla di costante elastica $K$, su un piano orizzontale liscio. Indichiamo con $x$ lo spostamento della massa dalla posizione di riposo. La forza elastica è di richiamo, $F = -Kx$: punta sempre verso l’equilibrio, con intensità proporzionale a quanto ce ne siamo allontanati. La seconda legge di Newton dà allora

$m\,\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -K\,x$

È un’equazione differenziale lineare del second’ordine a coefficienti costanti, e definisce il moto armonico semplice. La sua struttura — “l’accelerazione è proporzionale alla posizione, con segno opposto” — è ciò che rende il moto oscillatorio: appena il corpo si sposta, nasce una forza che lo rispinge indietro, lo fa passare per l’equilibrio, lo rallenta dall’altra parte, e così via.

Principio — Equazione del moto armonico semplice (MAS)

Un sistema obbedisce al moto armonico semplice se la sua accelerazione è proporzionale alla coordinata, con il segno opposto: $\ev{\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -\omega^2\,x}$ dove $\omega$ è la pulsazione angolare (in rad/s).

Per la massa-molla, confrontando $m\ddot x = -Kx$ con $\ddot x = -\omega^2 x$, si legge subito la pulsazione:

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}}$

Intuizione

Più rigida la molla ($K\uparrow$) o più leggera la massa ($m\downarrow$), più veloce è l’oscillazione. La rigidità fornisce la “voglia di tornare indietro”, l’inerzia della massa la contrasta: la loro contesa fissa il ritmo.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla

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