Energia nell'oscillatore armonico

L’energia totale dell’oscillatore (massa più molla, senza attrito) si conserva. Durante il moto si scambia continuamente fra due forme: cinetica, massima all’equilibrio dove la massa sfreccia, ed elastica, massima agli estremi dove la molla è più deformata e il corpo si ferma un istante.

Scriviamo le due energie usando $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ e $v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$, ricordando che $m\omega^2 = K$:

$\begin{aligned} E_k(t) &= \tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2} m A^2\omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) = \tfrac{1}{2}K A^2\sin^2(\omega t + \varphi) \\ E_p(t) &= \tfrac{1}{2}K x^2 = \tfrac{1}{2}K A^2\cos^2(\omega t + \varphi) \end{aligned}$

Sommandole e usando l’identità $\sin^2 + \cos^2 = 1$, il tempo sparisce:

$\ev{E_\text{tot} = E_k + E_p = \tfrac{1}{2}\,K\,A^2}$

L’energia totale è costante e dipende solo dall’ampiezza.

Principio — Energia totale dell'oscillatore armonico

L’energia totale di un oscillatore armonico è proporzionale al quadrato dell’ampiezza. Se raddoppiamo l’ampiezza, l’energia quadruplica; se vogliamo dimezzare l’energia, dobbiamo dividere l’ampiezza per $\sqrt{2}$.

Una firma universale

Il quadrato dell’ampiezza è la firma di tutti i fenomeni ondulatori: dall’energia di un’onda meccanica all’intensità del suono, fino all’energia trasportata dai fotoni. Ovunque ci sia un’oscillazione, l’energia va come $A^2$.

Esempio — Velocità massima da energia

Per la massa-molla con $K = 50$ N/m e $A = 8{,}1$ cm, l’energia totale è $E = \tfrac{1}{2}K A^2 = 0{,}5\cdot 50\cdot (0{,}081)^2 \approx 0{,}164$ J. La velocità massima è $v_\text{max} = A\omega = 0{,}081\cdot 15{,}8 \approx 1{,}28$ m/s. Verifica: $\tfrac{1}{2}m v_\text{max}^2 = 0{,}5\cdot 0{,}2\cdot (1{,}28)^2 \approx 0{,}164$ J. Il bilancio chiude: all’equilibrio tutta l’energia è cinetica.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Energia potenziale elastica · Energia cinetica · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Molla

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Velocità massima da energia · Problema — Dall’ampiezza al k · Esercizio svolto — Molla verticale con bilancio energetico