Oscillazioni smorzate

Nei sistemi reali un attrito sempre presente — viscosità dell’aria, attrito interno della molla, dissipazione nelle articolazioni — sottrae energia all’oscillatore: l’ampiezza non resta costante, ma diminuisce nel tempo.

Il modello standard aggiunge una forza di attrito proporzionale alla velocità, $F_\text{att} = -b\,\dot x$. L’equazione del moto diventa

$m\ddot x = -K x - b\,\dot x \quad\Rightarrow\quad \ddot x + 2\zeta\omega_0\,\dot x + \omega_0^2\,x = 0$

con $\omega_0 = \sqrt{K/m}$ la pulsazione propria e $\zeta = \dfrac{b}{2\sqrt{mK}}$ il coefficiente di smorzamento adimensionale. È il valore di $\zeta$ a decidere il carattere del moto.

Tre regimi di smorzamento

• $\zeta < 1$ (sotto-smorzato): il corpo oscilla, ma l’ampiezza decresce esponenzialmente, $x(t) = A_0\,e^{-\zeta\omega_0 t}\cos(\omega_d t + \varphi)$, con pulsazione ridotta $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2} < \omega_0$.
• $\zeta = 1$ (smorzamento critico): il corpo torna all’equilibrio nel più breve tempo possibile, senza oscillare. È il regime degli ammortizzatori delle automobili.
• $\zeta > 1$ (sovra-smorzato): il corpo torna all’equilibrio lentamente, senza mai superarlo.

Regime sotto-smorzato (blu): oscillazione con inviluppo esponenziale tratteggiato. Regime critico (verde): ritorno all’equilibrio senza oscillare, nel minimo tempo.

L'ottimo ingegneristico

Lo smorzamento critico è il compromesso ideale: ferma le oscillazioni indesiderate senza “ringing” (rimbalzi) e senza la lentezza del sovra-smorzato. Per questo gli ammortizzatori di un’auto sono progettati vicino a $\zeta = 1$.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Oscillazioni smorzate · Moto armonico semplice Oggetti: Molla

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