Esercizio svolto — Massa, molla e smorzamento

Testo

Una massa di $200$ g è attaccata a una molla ($k = 80$ N/m) in un fluido viscoso. L’ampiezza si dimezza ogni $4{,}0$ s. Calcolare: (a) la frequenza propria non smorzata, (b) la costante di smorzamento $\gamma = b/m$, (c) la frequenza effettiva.

Soluzione

(a) Frequenza propria non smorzata. $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{80}{0{,}2}} = \sqrt{400} = 20 \ \text{rad/s}$

(b) Costante di smorzamento. L’inviluppo dell’ampiezza decade come $A(t) = A_0\,e^{-(\gamma/2)t}$. Il dimezzamento in $t_{1/2} = 4{,}0$ s impone $e^{-\gamma t_{1/2}/2} = 1/2$, da cui $\gamma = \frac{2\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2\cdot 0{,}693}{4} \approx \ev{0{,}347 \ \text{s}^{-1}}$

(c) Frequenza effettiva. $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - (\gamma/2)^2} = \sqrt{400 - 0{,}030} \approx \ev{20 \ \text{rad/s}}$

Lo smorzamento è molto leggero: la frequenza resta praticamente invariata, e l’inviluppo decresce con costante di tempo $\tau = 2/\gamma \approx 5{,}8$ s.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Oscillazioni smorzate · Moto armonico semplice Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Molla