Problema — Due altalene accoppiate

Testo

Due altalene identiche, una accanto all’altra, sono collegate da una debole molla orizzontale. Inizialmente solo la prima oscilla. Cosa si osserva nel tempo? Discuti il fenomeno dei battimenti fra oscillatori accoppiati.

Soluzione

Il sistema accoppiato ha due modi normali: quello in fase (frequenza $\omega_+$) e quello in controfase ($\omega_-$). Poiché la molla è debole, le due frequenze sono vicine ($\omega_- \gtrsim \omega_+$).

Lo stato iniziale (solo la prima altalena oscilla) è la sovrapposizione dei due modi con uguale ampiezza. I due modi, avendo frequenze leggermente diverse, si sfasano lentamente nel tempo: l’energia MIGRA da un’altalena all’altra.

La prima altalena rallenta fino a fermarsi mentre la seconda raggiunge l’ampiezza massima, poi il processo si inverte. È un battimento fra oscillatori, con periodo di scambio:

$T_b = \frac{2\pi}{\omega_- - \omega_+}$

Molla più debole $\Rightarrow$ $\omega_-$ e $\omega_+$ più vicine $\Rightarrow$ scambio più lento.

$\ev{\text{energia migra avanti-indietro fra le due altalene con } T_b = 2\pi/(\omega_- - \omega_+)}$

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Modi normali · Battimenti · Pendolo semplice Oggetti: Pendolo semplice