Esercizio svolto — Due pendoli accoppiati da un filo

Testo

Due pendoli identici di lunghezza $\ell = 1$ m sono appesi a uno stesso filo orizzontale. L’accoppiamento per torsione del filo fornisce una costante $\kappa$ piccola ($\kappa \ll K$). Trovare i due modi normali e descrivere il moto quando si sposta solo il primo pendolo.

Soluzione

Modo simmetrico (in fase). I due pendoli oscillano insieme, il filo non si torce: la frequenza è quella del pendolo isolato, $\omega_+ = \sqrt{\frac{g}{\ell}} = \sqrt{\frac{9{,}81}{1}} \approx 3{,}13 \ \text{rad/s} \quad (T \approx 2{,}0 \ \text{s})$

Modo antisimmetrico (in controfase). I pendoli oscillano opposti, il filo si torce e aggiunge un piccolo richiamo: $\omega_- \approx \omega_+\left(1 + \frac{\kappa}{K}\right)$ leggermente maggiore di $\omega_+$.

Moto con un solo pendolo spostato. Spostando solo il primo e lasciandolo andare, lo stato iniziale è la sovrapposizione dei due modi. Poiché $\omega_-$ e $\omega_+$ differiscono di poco, i modi sfasano lentamente: l’energia migra dal primo pendolo al secondo, poi torna al primo, con periodo di battimento $\ev{T_b = \frac{2\pi}{\omega_- - \omega_+} \propto \frac{K}{\kappa}}$ tanto più lungo quanto più debole è l’accoppiamento. È un’esperienza facilmente riproducibile in laboratorio scolastico, e prelude alla coppia di livelli vicini della meccanica quantistica.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Modi normali · Battimenti · Pendolo semplice Oggetti: Pendolo semplice