Esercizio svolto — urto parzialmente anelastico

Testo

Due palline ($m_1 = 3\;\text{kg}$, $v_{1A} = 4\;\text{m/s}$; $m_2 = 5\;\text{kg}$, $v_{2A} = -7\;\text{m/s}$) collidono. Il 30% dell’energia cinetica interna diventa calore. Trovare le velocità finali.

Soluzione

Tabella di $\vv{p}$ (1D, componente $x$; $p$ in $\text{kg m/s}$):

	$p_1$	$p_2$	$p_\text{tot}$
A	$12$	$-35$	$-23$
B	$3v_{1B}$	$5v_{2B}$	$-23$

$3v_{1B} + 5v_{2B} = -23 \qquad\text{(I)}$

Velocità del centro di massa (si conserva): $v_\text{CM} = \frac{p_\text{tot}}{M_\text{tot}} = \frac{-23}{8} = -2{,}875\;\text{m/s}$

Energia cinetica interna (la sola parte che può diventare calore, cioè quella del moto relativo al centro di massa). Energia cinetica totale e del CM: $E_\text{cin,tot} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7^2 = 24 + 122{,}5 = 146{,}5\;\text{J}$ $E_\text{cin,CM} = \tfrac{1}{2}\,M_\text{tot}\,v_\text{CM}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 2{,}875^2 = 33{,}1\;\text{J}$ $E_\text{cin,int} = E_\text{cin,tot} - E_\text{cin,CM} = 146{,}5 - 33{,}1 = 113{,}4\;\text{J}$

Il 30% diventa calore: $E_\text{term} = 0{,}3\cdot 113{,}4 = 34{,}0\;\text{J}$

Tabella di $E$ ($E$ in $\text{J}$):

	$E_{\text{cin},1}$	$E_{\text{cin},2}$	$E_\text{term}$	$E_\text{tot}$
A	$24$	$122{,}5$	$0$	$146{,}5$
B	$\tfrac{3}{2}v_{1B}^2$	$\tfrac{5}{2}v_{2B}^2$	$34{,}0$	$146{,}5$

$\tfrac{3}{2}v_{1B}^2 + \tfrac{5}{2}v_{2B}^2 = 146{,}5 - 34{,}0 = 112{,}5 \qquad\text{(II)}$

Risoluzione del sistema (I)–(II). Da (I): $v_{1B} = \dfrac{-23 - 5v_{2B}}{3}$. Sostituendo in (II) si ottiene un’equazione di secondo grado in $v_{2B}$: $\tfrac{3}{2}\!\left(\frac{-23 - 5v_{2B}}{3}\right)^{\!2} + \tfrac{5}{2}v_{2B}^2 = 112{,}5$ $20v_{2B}^2 + 115\,v_{2B} - 73 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_{2B} = \frac{-115 \pm \sqrt{115^2 + 4\cdot 20\cdot 73}}{2\cdot 20}$ $v_{2B} = \frac{-115 \pm 138{,}1}{40}$ Le due radici corrispondono a “prima” e “dopo” l’urto; quella fisica (i corpi si separano, con la velocità relativa che si inverte) è $\ev{v_{2B} \approx 0{,}58\;\mathrm{m/s},\quad v_{1B} \approx -8{,}63\;\mathrm{m/s}}$ L’altra radice ($v_{2B} \approx -6{,}33$, $v_{1B} \approx 2{,}88$), con i corpi ancora in avvicinamento, è la soluzione “prima dell’urto”: si scarta. Il metodo delle due tabelle ha fornito le due equazioni (I) e (II) necessarie a chiudere il problema.

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto anelastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica · Centro di massa Competenze: Metodo delle due tabelle Metodi: Metodo delle due tabelle parallele