Definizione del centro di massa

Quando un sistema è composto da più oggetti, esiste un unico punto che ne riassume la posizione complessiva: il centro di massa (CM). Non è un punto qualsiasi, ma una media pesata delle posizioni dei corpi, in cui il peso di ciascuno è la sua massa. Un corpo più pesante “tira” il centro di massa verso di sé più di uno leggero.

Principio — Centro di massa

Per un sistema di $n$ corpi, il centro di massa ha posizione $\ev{\vec{s}_{\text{CM}} = \frac{m_1\,\vec{s}_1 + m_2\,\vec{s}_2 + \cdots + m_n\,\vec{s}_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} = \frac{\sum_i m_i\,\vec{s}_i}{M_{\text{tot}}}}$ È una media pesata delle posizioni, con le masse come pesi.

Il calcolo è vettoriale: si applica la formula separatamente a ogni componente ($x$, $y$, eventualmente $z$). Il denominatore è sempre la massa totale del sistema $M_{\text{tot}} = \sum_i m_i$.

Formula chiave

$\vec{s}_\text{CM} = \frac{\sum m_i\,\vec{s}_i}{M_\text{tot}}$ $\vec{v}_\text{CM} = \frac{\vec{p}_\text{tot}}{M_\text{tot}}$ $E_\text{pot,g} = M_\text{tot}\,g\,h_\text{CM}$

Esempio — Tre masse nel piano

$m_1 = 4\;\text{kg}$ in $(3,1)$, $m_2 = 1\;\text{kg}$ in $(1,0)$, $m_3 = 2\;\text{kg}$ in $(2,-2)$. La massa totale è $7\;\text{kg}$: $\vec{s}_{\text{CM}} = \frac{4(3,1) + 1(1,0) + 2(2,-2)}{7} = \frac{(17,\; 0)}{7} = \left(\tfrac{17}{7},\; 0\right) \approx (2{,}43;\; 0)$ La componente $y$ si annulla perché i contributi verso l’alto ($m_1$) e verso il basso ($m_3$) si bilanciano.

La figura mostra come le masse più grandi spostino il CM verso di sé: il punto dorato (CM) è più vicino alla massa da $4\;\text{kg}$ che alle altre due.

Il centro di massa di tre masse puntiformi è la media pesata delle posizioni. Le masse più grandi “tirano” il CM verso di sé.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Centro di massa Competenze: Calcolo del centro di massa

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