Disco con foro tangente

Testo

Da un disco omogeneo di raggio $R$ viene ritagliato un disco più piccolo di raggio $R/2$ tangente internamente al bordo. Usando il metodo dell’anti-materia, determina la posizione del centro di massa della figura residua rispetto al centro del disco originale.

Soluzione

Masse proporzionali alle aree (densità uniforme). Disco intero: $m_1 \propto \pi R^2$, con CM in $x = 0$. Foro di raggio $R/2$: $m_2 \propto \pi (R/2)^2 = \tfrac{1}{4}\pi R^2$, quindi $m_2 = \tfrac{1}{4}m_1$.

Posizione del foro. Tangente internamente al bordo: il suo centro dista dal centro del disco $R - \tfrac{R}{2} = \tfrac{R}{2}$. Poniamo il foro in $x_2 = +R/2$.

Metodo dell’anti-materia (il foro entra con massa negativa): $x_\text{CM} = \frac{m_1\cdot 0 - m_2\cdot \tfrac{R}{2}}{m_1 - m_2} = \frac{-\tfrac{1}{4}m_1\cdot \tfrac{R}{2}}{m_1 - \tfrac{1}{4}m_1} = \frac{-\tfrac{1}{8}R}{\tfrac{3}{4}}$ $\ev{x_\text{CM} = -\frac{R}{6} \approx -0{,}17\,R}$ Il segno meno indica che il CM si sposta dalla parte opposta al foro.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Centro di massa Competenze: Calcolo del centro di massa