La velocità del centro di massa

Se il centro di massa è la media pesata delle posizioni, la sua velocità si ottiene semplicemente derivando rispetto al tempo la definizione. Poiché le masse sono costanti, la derivata passa dentro la somma e trasforma ogni posizione $\vec{s}_i$ nella corrispondente velocità $\vec{v}_i$:

$\vec{v}_{\text{CM}} = \frac{m_1\,\vec{v}_1 + m_2\,\vec{v}_2 + \cdots}{M_{\text{tot}}} = \frac{\vec{p}_{\text{tot}}}{M_{\text{tot}}}$

Il numeratore $\sum_i m_i \vec{v}_i$ è esattamente la quantità di moto totale del sistema. Quindi la velocità del centro di massa è la quantità di moto totale divisa per la massa totale: il CM si muove come un unico corpo che trasporta tutta la massa e tutta la quantità di moto del sistema.

Intuizione

Se la quantità di moto totale si conserva, la velocità del CM resta costante — anche durante un urto o un’esplosione! Le forze interne ridistribuiscono la quantità di moto tra le parti, ma non cambiano la somma, quindi $\vec{v}_\text{CM}$ non si accorge di nulla. Questa è la chiave che rende il centro di massa così potente.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Centro di massa · Quantità di moto · Conservazione della quantità di moto

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