Energia potenziale gravitazionale del CM

C’è un risultato molto utile che lega il centro di massa all’energia potenziale gravitazionale: per calcolare l’$E_\text{pot,g}$ totale di un sistema — un oggetto esteso o un insieme di più corpi — basta usare l’altezza del centro di massa.

Principio — Energia potenziale e centro di massa

$\ev{E_{\text{pot,g}} = M_{\text{tot}}\,g\,h_{\text{CM}}}$

La dimostrazione è immediata: l’energia potenziale totale è $\sum_i m_i g h_i = g \sum_i m_i h_i$. Ma $\sum_i m_i h_i = M_\text{tot}\, h_\text{CM}$ per definizione stessa del centro di massa (è la sua altezza, moltiplicata per la massa totale). Quindi tutta l’informazione sulla distribuzione verticale delle masse si condensa in un solo numero, $h_\text{CM}$.

Questo semplifica enormemente i calcoli nei problemi con oggetti estesi o sistemi di più corpi: invece di sommare tanti $m_i g h_i$, si trova l’altezza del baricentro e si moltiplica per il peso totale. È particolarmente comodo quando un corpo cambia forma — una catena che scivola, una fune che si srotola — perché basta seguire come si abbassa il baricentro.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Centro di massa · Energia potenziale gravitazionale

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