Sfida: catena su tavolo

Testo

Sfida: catena su tavolo. Una catena di lunghezza $L = 2\;\text{m}$ e massa lineare $\lambda = 0{,}3\;\text{kg/m}$ è appoggiata su un tavolo, con una piccola parte ($\ell_0 = 0{,}2\;\text{m}$) già sopra il bordo. Calcola la velocità con cui la catena lascia completamente il tavolo, trascurando l’attrito. Usa la conservazione dell’energia col baricentro.

Soluzione

Impostazione. Massa totale $M = \lambda L = 0{,}3\cdot 2 = 0{,}6\;\text{kg}$. La catena è inestensibile: tutti i tratti hanno la stessa velocità $v$. Usiamo la conservazione dell’energia, calcolando l’energia potenziale col baricentro. Prendiamo il bordo del tavolo come quota $0$ (il tratto pendente sta a quote negative).

Con un tratto pendente di lunghezza $x$, l’energia potenziale è $E_\text{pot}(x) = (\lambda x)\,g\,(-x/2) = -\tfrac{1}{2}\lambda g\,x^2$ (il tratto sul tavolo è a quota $0$).

Stati iniziale e finale: $E_\text{pot,i} = -\tfrac{1}{2}\lambda g\,\ell_0^2 = -\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}3\cdot 9{,}81\cdot 0{,}2^2 \approx -0{,}059\;\text{J}$ $E_\text{pot,f} = -\tfrac{1}{2}\lambda g\,L^2 = -\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}3\cdot 9{,}81\cdot 2^2 \approx -5{,}89\;\text{J}$

Conservazione dell’energia ($\tfrac{1}{2}M v^2 = E_\text{pot,i} - E_\text{pot,f}$): $\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}6\cdot v^2 = -0{,}059 - (-5{,}89) = 5{,}83\;\text{J}$ $v = \sqrt{\frac{2\cdot 5{,}83}{0{,}6}} \approx \sqrt{19{,}4}$ $\ev{v \approx 4{,}4\;\text{m/s}}$

Nota sul risultato $v \approx 2{,}5\;\text{m/s}$, ma il bilancio energetico corretto col baricentro (drop del CM di circa $0{,}99\;\text{m}$) dà $v \approx 4{,}4\;\text{m/s}$. Il valore $2{,}5$ del testo pare un refuso.

Il libro riporta come risposta

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Centro di massa · Energia potenziale gravitazionale · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia