Dimostrazione del teorema di König

La dimostrazione del teorema di König è breve ed elegante, e mostra da dove viene la scomparsa del termine misto.

Scriviamo la velocità di ciascun corpo come somma della velocità del CM più quella relativa: $\vec{v}_i = \vec{v}_\text{CM} + \vec{v}_i'$. L’energia cinetica totale diventa

$E_\text{cin,tot} = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i|\vec{v}_\text{CM}+\vec{v}_i'|^2$

Espandendo il modulo al quadrato, $|\vec{v}_\text{CM}+\vec{v}_i'|^2 = v_\text{CM}^2 + 2\,\vec{v}_\text{CM}\cdot\vec{v}_i' + v_i'^2$, si ottengono tre termini:

$E_\text{cin,tot} = \underbrace{\tfrac{1}{2}M_\text{tot}v_\text{CM}^2}_{E_\text{cin,CM}} + \underbrace{\vec{v}_\text{CM}\cdot\sum_i m_i\vec{v}_i'}_{\text{termine misto}} + \underbrace{\sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_i'^2}_{E_\text{cin,int}}$

Il termine misto è nullo, perché $\sum_i m_i\vec{v}_i' = \vec{0}$: la quantità di moto nel SRCM è sempre zero. Restano quindi solo il termine del CM e quello interno, ed è proprio la tesi del teorema.

Conseguenza negli urti

Questa scomposizione è fondamentale negli urti: l’$E_{\text{cin,CM}}$ non cambia mai, perché $\vec{v}_{\text{CM}}$ è costante (nessuna forza esterna netta). In un urto completamente anelastico, invece, l’$E_{\text{cin,int}}$ si azzera completamente, trasformandosi in energia termica. Ecco perché in un urto anelastico “si perde energia cinetica” ma la quantità di moto — e quindi il moto del CM — resta intatta: a sparire è solo la parte interna.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Energia cinetica · Urto anelastico Competenze: Impostazione simbolica

Esercizi collegati: Urto perfettamente anelastico · Urto fra slitte · Pendolo balistico (altezza)