La clessidra sulla bilancia

Testo

Una clessidra è in equilibrio su una bilancia. Quando capovolta, la sabbia comincia a scorrere verso il basso. Cosa segna la bilancia: più, meno o lo stesso valore? (Suggerimento: pensa al moto del centro di massa.)

Soluzione

Si applica la seconda legge di Newton al centro di massa dell’intera clessidra (vetro + sabbia): $N - M_\text{tot}\,g = M_\text{tot}\,a_{\text{CM},y}$ dove $N$ è ciò che la bilancia legge (la reazione vincolare) e $a_{\text{CM},y}$ è l’accelerazione verticale del CM.

Mentre la sabbia scorre, la colonna di grani in caduta viene accelerata verso il basso; l’effetto dominante nel regime di flusso è che il getto decelera bruscamente urtando il cumulo inferiore. Il bilancio complessivo dà un centro di massa la cui dinamica richiede una reazione vincolare maggiore del peso statico: $\ev{\text{la bilancia segna di più}}$ Detto in termini di CM: la variazione netta della quantità di moto verticale della sabbia (impatto sul fondo) supera il “difetto” dovuto ai grani in volo, e per la seconda legge del CM la bilancia deve spingere più forte del solo peso.

Nota: è un problema classico e sottile; il transitorio iniziale e finale del flusso può dare brevi scostamenti, ma nel regime stazionario di caduta la lettura risulta leggermente superiore al peso a riposo.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Centro di massa · Seconda legge di Newton Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica