Esercizio svolto — Gas fittizio di due palline

Testo

Due palline di massa $m_1 = m_2 = 2\;\text{kg}$ hanno velocità $\vec{v}_1 = (3, 0)$ e $\vec{v}_2 = (-5, 4)$. Supponendo (fantasiosamente) che siano un gas ideale monatomico, calcolare la “temperatura” associata.

Soluzione

Velocità del CM: $\vec{v}_\text{CM} = \left(\frac{3-5}{2},\; \frac{0+4}{2}\right) = (-1,\; 2)\;\text{m/s}$

Velocità relative al CM ($\vec{v}_i' = \vec{v}_i - \vec{v}_\text{CM}$): $\vec{v}_1' = (3,0) - (-1,2) = (4, -2), \qquad \vec{v}_2' = (-5,4) - (-1,2) = (-4, 2)$ Come deve essere, $m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2' = \vec{0}$: la quantità di moto nel SRCM è nulla.

Energia cinetica interna (con $|\vec{v}_i'|^2 = 4^2+2^2 = 20$ per entrambe): $E_\text{cin,int} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot(16+4) + \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot(16+4) = 20 + 20 = 40\;\text{J}$

Temperatura equivalente (gas monatomico, $E_\text{cin,int} = \tfrac{3}{2}N k_B T$, con $N=2$): $T = \frac{2\,E_\text{cin,int}}{3 N k_B} = \frac{2\cdot 40}{3\cdot 2\cdot 1{,}38\cdot 10^{-23}} = \frac{80}{8{,}28\cdot 10^{-23}}$

$\ev{T \approx 9{,}7\cdot 10^{23}\;\text{K}}$

Astronomica! Ma è un artefatto del modello giocattolo: con sole $N=2$ particelle, ripartire $40\;\text{J}$ significa un’energia enorme per particella. Con un gas vero di $\sim 10^{23}$ particelle a velocità di pochi m/s, la stessa formula darebbe una temperatura ragionevole.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Energia interna · Temperatura · Energia cinetica Competenze: Interpretazione micro-macro