Analogia completa traslazione–rotazione

Una delle cose più belle della meccanica è che le leggi della rotazione hanno esattamente la stessa struttura di quelle della traslazione. Non è una somiglianza approssimativa: è un dizionario di traduzione perfetto, dove ogni grandezza traslazionale ha un corrispondente rotazionale che ne eredita tutte le proprietà.

Il dizionario traslazione ↔ rotazione

Traslazione	Rotazione	Relazione
Posizione $s$	Angolo $\theta$	$s = r\theta$
Velocità $v$	Velocità angolare $\omega$	$v = r\omega$
Accelerazione $a$	Accelerazione angolare $\alpha$	$a_t = r\alpha$
Massa $m$	Momento d’inerzia $I$	$I = \sum m_i r_i^2$
Forza $\vec{F}$	Momento $M$	$M = Fr\sin\theta$
$\sum F = ma$	$\sum M = I\alpha$
$\vec{p} = m\vec{v}$	$L = I\omega$
$E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}mv^2$	$E_\text{cin,rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$
Impulso $\vec{I}$	Impulso angolare $I_\text{ang}$

Le equazioni del moto rotatorio uniformemente accelerato

Poiché $\theta$, $\omega$, $\alpha$ stanno a $s$, $v$, $a$ come i loro gemelli, le equazioni orarie del moto rotatorio con $\alpha$ costante sono le stesse del moto rettilineo uniformemente accelerato, parola per parola:

$\theta_B - \theta_A = \omega_A(t_B-t_A) + \tfrac{1}{2}\alpha(t_B-t_A)^2$

$\omega_B - \omega_A = \alpha(t_B - t_A)$

$\omega_B^2 - \omega_A^2 = 2\alpha(\theta_B - \theta_A)$

Non c’è nulla di nuovo da imparare: basta cambiare i simboli. Chi ha capito la cinematica rettilinea ha già capito, gratis, la cinematica rotazionale.

Un'analogia che non finisce mai

L’analogia è così profonda che ogni teorema della meccanica traslazionale ha un corrispondente rotazionale: la conservazione della quantità di moto $\vec{p}$ diventa la conservazione del momento angolare $L$, il teorema dell’impulso diventa il teorema dell’impulso angolare, e persino la macchina di Atwood ha un analogo rotazionale con le pulegge massive. Ogni volta che incontri una formula per un corpo rotante, prova a riconoscere quale formula traslazionale sta “rifacendosi il trucco” in coordinate angolari.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento angolare · Energia cinetica rotazionale Metodi: Analogia traslazione-rotazione

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