Esercizio svolto — proiettile contro asta incernierata

Testo

Un’asta omogenea ($M = 3\;\mathrm{kg}$, lunghezza $L = 2\;\mathrm{m}$) è incernierata all’estremo superiore e pende verticalmente, ferma. Un proiettile ($m = 0{,}1\;\mathrm{kg}$, $v_0 = 200\;\mathrm{m/s}$) la colpisce orizzontalmente all’altro estremo e vi rimane conficcato. Trovare la velocità angolare $\omega$ dell’asta subito dopo l’urto.

Soluzione

Scelta del polo: prendiamo il cardine. La reazione del cardine ha braccio zero e non contribuisce; il peso ha braccio ma non è impulsivo. Quindi il momento angolare rispetto al cardine si conserva. $L^A$ (solo il proiettile, braccio $= L$ perché colpisce l’estremo): $L^A = m\,v_0\,L = 0{,}1\cdot 200\cdot 2 = 40\;\mathrm{kg\,m^2/s}$ $L^B$ (asta + proiettile ruotano insieme), con $I_\text{tot} = \tfrac{1}{3}ML^2 + mL^2$: $I_\text{tot} = \tfrac{1}{3}\cdot 3\cdot 4 + 0{,}1\cdot 4 = 4 + 0{,}4 = 4{,}4\;\mathrm{kg\,m^2}$ Conservazione $L^A = L^B = I_\text{tot}\,\omega$: $\omega = \frac{40}{4{,}4} \approx \ev{9{,}1\;\mathrm{rad/s}}$ Verifica dell’energia: $E_\text{cin}^A = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}1\cdot 200^2 = 2000\;\mathrm{J}$; $E_\text{cin}^B = \tfrac{1}{2}\cdot 4{,}4\cdot 9{,}1^2 \approx 182\;\mathrm{J}$. L’urto è fortemente anelastico: circa $1818\;\mathrm{J}$ sono andati in calore, suono e deformazione.

Nota: la quantità di moto non si conserva (c’è la reazione impulsiva del cardine), ma il momento angolare rispetto al cardine sì.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Urto anelastico Competenze: Scelta del polo Oggetti: Asta · Proiettile