Caso 2: urto elastico con asta incernierata

Stessa asta incernierata, ma ora l’urto è elastico: il proiettile rimbalza elasticamente dall’estremo dell’asta invece di conficcarsi. Cambia una sola condizione, e cambia tutto il bilancio.

• Il momento angolare rispetto al cardine si conserva (come nel caso 1, stessa ragione: la reazione del cardine ha braccio zero).
• La quantità di moto non si conserva (come nel caso 1: c’è la reazione impulsiva del cardine).
• L’energia cinetica si conserva: l’urto è elastico, $E_\text{termica} = 0$.

Ora le incognite sono due: $\omega$ (velocità angolare dell’asta) e $v_B$ (velocità del proiettile dopo l’urto, con segno). Servono quindi due equazioni: la conservazione di $L$ e quella di $E_\text{cin}$.

Equazione del momento angolare (rispetto al cardine):

$m_p v_A L = m_p v_B L + I_\text{asta}^\text{cardine}\,\omega$

con $I_\text{asta}^\text{cardine} = \tfrac{1}{3}ML^2 = 5{,}33\;\mathrm{kg\,m^2}$ (solo l’asta: il proiettile non si conficca più).

Equazione dell’energia cinetica:

$\tfrac{1}{2}m_p v_A^2 = \tfrac{1}{2}m_p v_B^2 + \tfrac{1}{2}I_\text{asta}^\text{cardine}\,\omega^2$

Riepilogo del caso 2

Due incognite ($v_B$, $\omega$), due equazioni ($L$, $E_\text{cin}$): sistema quadratico. Si risolve come un urto elastico 1D generalizzato. Come sempre negli urti elastici, il sistema ha due soluzioni: quella banale (nessun urto, $v_B = v_A$, $\omega = 0$) e quella fisica.

Perché niente conservazione di $\vec{p}$

Anche in un urto elastico, se l’asta è incernierata il cardine esercita una reazione vincolare impulsiva che trasmette un impulso esterno: la quantità di moto totale non si conserva. Non si può scrivere $m_p v_A = m_p v_B + \text{qualcosa}$. È l’errore più insidioso di questo problema.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Urto elastico Competenze: Scelta del polo Oggetti: Asta

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